Seja n um inteiro ≥ 2. Deduza que o polinômio f(x) = a + b x + c x^n, c ≠ 0, tem um ponto de inflexão se, e somente se, n é ímpar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para mostrar que o polinômio (onde ) tem um ponto de inflexão se e somente se o é ímpar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar onde a curvatura do gráfico muda. Vamos precisar entender o que são pontos de inflexão e como as derivadas nos ajudam a encontrá-los.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um ponto de inflexão. É um ponto no gráfico da função onde a concavidade muda de “côncava para cima” para “côncava para baixo” ou vice-versa. Matemáticamente, isso acontece onde a segunda derivada da função muda de sinal, ou seja, passa de positiva para negativa ou de negativa para positiva.

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada de . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente à curva da função em qualquer ponto .

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada, que nos informa sobre a concavidade da função.

Passo 5

Para encontrar os pontos de inflexão, vamos igualar a segunda derivada a zero e resolver para :
Como e , a equação simplifica para:

Passo 6

Agora, precisamos verificar se realmente é um ponto de inflexão. Para isso, vamos analisar o comportamento da segunda derivada em torno de :
  • Se é ímpar: A potência será ímpar se for ímpar e maior que 2. Isso significa que mudará de sinal quando passarmos de para , indicando uma mudança na concavidade.
  • Se é par: A potência será par se for par, o que faz com que seja sempre positivo ou sempre negativo (dependendo do coeficiente), não havendo mudança de sinal na segunda derivada.

Passo 7

Portanto, concluímos que:
  • Quando é ímpar: é um ponto de inflexão porque a segunda derivada muda de sinal.
  • Quando é par: Não há mudança de sinal na segunda derivada, então não existe ponto de inflexão.

Resposta

O polinômio com tem um ponto de inflexão se e somente se é ímpar.

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