Seja
um inteiro
. Deduza que o polinômio
, tem um ponto de inflexão se, e somente se, n é ímpar.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para mostrar que o polinômio
(onde
) tem um ponto de inflexão se e somente se o
é ímpar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar onde a curvatura do gráfico muda. Vamos precisar entender o que são pontos de inflexão e como as derivadas nos ajudam a encontrá-los.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um ponto de inflexão. É um ponto no gráfico da função onde a concavidade muda de “côncava para cima” para “côncava para baixo” ou vice-versa. Matemáticamente, isso acontece onde a segunda derivada da função muda de sinal, ou seja, passa de positiva para negativa ou de negativa para positiva.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada de
. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente à curva da função em qualquer ponto
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada, que nos informa sobre a concavidade da função.
Passo 5
Para encontrar os pontos de inflexão, vamos igualar a segunda derivada a zero e resolver para
:
Como
e
, a equação simplifica para:
Passo 6
Agora, precisamos verificar se
realmente é um ponto de inflexão. Para isso, vamos analisar o comportamento da segunda derivada em torno de
:
-
Se
é ímpar: A potência será ímpar se for ímpar e maior que 2. Isso significa que mudará de sinal quando passarmos de para , indicando uma mudança na concavidade. -
Se
é par: A potência será par se for par, o que faz com que seja sempre positivo ou sempre negativo (dependendo do coeficiente), não havendo mudança de sinal na segunda derivada.
Passo 7
Portanto, concluímos que:
-
Quando
é ímpar: é um ponto de inflexão porque a segunda derivada muda de sinal. -
Quando
é par: Não há mudança de sinal na segunda derivada, então não existe ponto de inflexão.
Resposta
O polinômio
com
tem um ponto de inflexão se e somente se
é ímpar.