Encontrar os pontos singulares e determinar o tipo deles da função f(z) para: d) f(z) = 1 / (1 - sen(z));

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos os pontos singulares da função e determinar o tipo de cada um deles. Isso envolve conceitos de funções complexas e análise de singularidades.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é igual a zero:
Resolvendo isso:
Sabemos que o seno de é igual a 1 nos pontos:
onde é um número inteiro ( ).

Passo 3

Então, os pontos singulares de são todos os valores de que satisfazem:
Esses são os pontos onde a função não está definida e, portanto, são candidatos a serem classificados como singularidades.

Passo 4

Agora, vamos determinar o tipo dessas singularidades. Para isso, analisamos o comportamento da função perto de cada ponto singular .
Expandindo em série de Taylor em torno de :
Como e :
Portanto:
Então, a função perto de fica:

Passo 5

Observamos que, perto de , a função se comporta como . Isso indica que é uma polo de ordem 2 (ou polo duplo), já que o denominador tem um termo quadrático.

Resposta

A função possui pontos singulares em:
para todo inteiro , e cada um desses pontos é um polo duplo.

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