Encontrar os pontos singulares e determinar o tipo deles da função
para: d)
;
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos os pontos singulares da função
e determinar o tipo de cada um deles. Isso envolve conceitos de funções complexas e análise de singularidades.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar onde a função
não está definida, ou seja, onde o denominador é igual a zero:
Resolvendo isso:
Sabemos que o seno de
é igual a 1 nos pontos:
onde
é um número inteiro (
).
Passo 3
Então, os pontos singulares de
são todos os valores de
que satisfazem:
Esses são os pontos onde a função não está definida e, portanto, são candidatos a serem classificados como singularidades.
Passo 4
Agora, vamos determinar o tipo dessas singularidades. Para isso, analisamos o comportamento da função perto de cada ponto singular
.
Expandindo
em série de Taylor em torno de
:
Como
e
:
Portanto:
Então, a função
perto de
fica:
Passo 5
Observamos que, perto de
, a função
se comporta como
. Isso indica que
é uma polo de ordem 2 (ou polo duplo), já que o denominador tem um termo quadrático.
Resposta
A função
possui pontos singulares em:
para todo inteiro
, e cada um desses pontos é um polo duplo.