Sejam u e v dois vetores com módulo igual a raiz(2). Em cada item, determine o módulo de u + v considerando que o ângulo theta formado entre u e v.
(a) theta = 0 graus.
(b) theta = 45 graus.
© theta = 90 graus.
(d) theta = 120 graus.
(e) theta = 180 graus.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois vetores, u e v, cada um com módulo igual a raiz(2). A gente precisa descobrir o módulo da soma desses dois vetores, , para diferentes ângulos theta entre eles. Isso está ligado ao estudo de vetores e como somamos eles levando em conta a direção.

Passo 2

Para encontrar o módulo da soma de dois vetores, usamos a seguinte fórmula:
Essa fórmula é uma aplicação do teorema do cosseno, que relaciona os lados de um triângulo com o cosseno de um de seus ângulos.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula para cada caso:

(a)

Quando o ângulo entre os vetores é 0 graus, os vetores estão na mesma direção, então .

(b)

Para 45 graus, .

©

Aqui, .

(d)

Para 120 graus, .
No entanto, isso indica que os vetores se cancelam quando o ângulo é 120 graus.

(e)

Quando o ângulo é 180 graus, .
Como não temos raiz quadrada de número negativo no conjunto dos números reais, isso indica que os vetores estão em direções opostas, e o módulo da soma é a diferença dos módulos:

Resposta

(a)
(b) Aproximadamente
©
(d) 0
(e) 0

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