Usando a técnica da substituição trigonométrica, encontre a integral indefinida
Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para encontrar a integral indefinida de
usando a técnica de substituição trigonométrica. Isso envolve trigonometria e integração. Vamos precisar usar identidades trigonométricas e as técnicas de substituição para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada. Observe que temos
, que se parece com a identidade
. Para essa forma, a substituição trigonométrica adequada é
. Aqui,
, então
. Então, vamos substituir
por
.
Passo 3
Com a substituição
, calculamos o diferencial
. Derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a expressão dentro da raiz fica
, e a integral vira:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Agora, a integral fica:
Passo 6
Agora, a integral ficou bem mais simples:
Integrando
:
Passo 7
Agora, precisamos voltar à variável original
. Lembrando que fizemos a substituição
, então:
Portanto,
Resposta
A integral indefinida é
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para: d)
;
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.
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para: d)
.