Usando a técnica da substituição trigonométrica, encontre a integral indefinida
integral 1raiz(16+x^2)^3 d x
Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para encontrar a integral indefinida de usando a técnica de substituição trigonométrica. Isso envolve trigonometria e integração. Vamos precisar usar identidades trigonométricas e as técnicas de substituição para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada. Observe que temos , que se parece com a identidade . Para essa forma, a substituição trigonométrica adequada é . Aqui, , então . Então, vamos substituir por .

Passo 3

Com a substituição dx = 4 sec^2 theta , dtheta , calculamos o diferencial . Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos integral 1raiz(16 + (4 tan theta)^2)^3 cdot 4 sec^2 theta , dtheta e 16 + 16 tan^2 theta = 16(1 + tan^2 theta) = 16 sec^2 theta na integral original:
integral 1raiz(16 sec^2 theta)^3 cdot 4 sec^2 theta , dtheta
Simplificando dentro da raiz:
Então, a expressão dentro da raiz fica , e a integral vira:

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da raiz:
raiz(16 sec^2 theta)^3 = raiz16^3 sec^6 theta = 16^3/2 sec^3 theta = 64 sec^3 theta
Agora, a integral fica:
integral 4 sec^2 theta64 sec^3 theta , dtheta = integral 464 cdot 1sec theta , dtheta = integral 116 cos theta , dtheta

Passo 6

Agora, a integral ficou bem mais simples:
116 integral cos theta , dtheta
Integrando 116 sin theta + C :

Passo 7

Agora, precisamos voltar à variável original sin theta = xraiz16 + x^2 . Lembrando que fizemos a substituição 116 sin theta + C = 116 cdot xraiz16 + x^2 + C , então:
Portanto,

Resposta

A integral indefinida é
x16 raiz16 + x^2 + C

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