Encontrar os pontos singulares e determinar o tipo deles da função f(z) para:
a) f(z) = 1 / (z - sen(z));

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos singulares da função e determinar que tipo de singularidades eles são. Isso está dentro do estudo de funções complexas, mais especificamente sobre singularidades. Para resolver, vamos precisar identificar onde o denominador se anula, ou seja, onde , e então analisar o comportamento da função nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde o denominador é zero, pois esses são os candidatos a serem pontos singulares. Então, precisamos resolver a equação:
Isso significa que estamos procurando valores de para os quais .

Passo 3

Vamos analisar essa equação. Sabemos que pode ser expandido em uma série de potências:
Substituindo na equação :
Para valores de próximos de zero, os termos de ordem mais alta podem ser desprezados, então temos aproximadamente:
Então, é um ponto onde o denominador se anula.

Passo 4

Agora, precisamos verificar a natureza dessa singularidade em . Para isso, vamos determinar a ordem do zero do denominador em . Observamos que:
O termo de menor grau é , o que indica que é uma raiz de ordem 3 do denominador.

Passo 5

Uma vez que o denominador tem um zero de ordem 3 em , isso significa que tem uma singularidade chamada de pólo em . A ordem do pólo é igual à ordem da raiz do denominador, ou seja, 3.

Resposta

A função possui um único ponto singular em , que é um pólo de ordem 3.

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