Encontrar os pontos singulares e determinar o tipo deles da função
para:
a)
;
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos singulares da função
e determinar que tipo de singularidades eles são. Isso está dentro do estudo de funções complexas, mais especificamente sobre singularidades. Para resolver, vamos precisar identificar onde o denominador se anula, ou seja, onde
, e então analisar o comportamento da função nesses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde o denominador é zero, pois esses são os candidatos a serem pontos singulares. Então, precisamos resolver a equação:
Isso significa que estamos procurando valores de
para os quais
.
Passo 3
Vamos analisar essa equação. Sabemos que
pode ser expandido em uma série de potências:
Substituindo na equação
:
Para valores de
próximos de zero, os termos de ordem mais alta podem ser desprezados, então temos aproximadamente:
Então,
é um ponto onde o denominador se anula.
Passo 4
Agora, precisamos verificar a natureza dessa singularidade em
. Para isso, vamos determinar a ordem do zero do denominador em
. Observamos que:
O termo de menor grau é
, o que indica que
é uma raiz de ordem 3 do denominador.
Passo 5
Uma vez que o denominador tem um zero de ordem 3 em
, isso significa que
tem uma singularidade chamada de pólo em
. A ordem do pólo é igual à ordem da raiz do denominador, ou seja, 3.
Resposta
A função
possui um único ponto singular em
, que é um pólo de ordem 3.