Encontrar os pontos singulares e determinar o tipo deles da função
para:
a)
;
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos singulares da função
e determinar que tipo de singularidades eles são. Isso está dentro do estudo de funções complexas, mais especificamente sobre singularidades. Para resolver, vamos precisar identificar onde o denominador se anula, ou seja, onde
, e então analisar o comportamento da função nesses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde o denominador é zero, pois esses são os candidatos a serem pontos singulares. Então, precisamos resolver a equação:
Isso significa que estamos procurando valores de
para os quais
.
Passo 3
Vamos analisar essa equação. Sabemos que
pode ser expandido em uma série de potências:
Substituindo na equação
:
Para valores de
próximos de zero, os termos de ordem mais alta podem ser desprezados, então temos aproximadamente:
Então,
é um ponto onde o denominador se anula.
Passo 4
Agora, precisamos verificar a natureza dessa singularidade em
. Para isso, vamos determinar a ordem do zero do denominador em
. Observamos que:
O termo de menor grau é
, o que indica que
é uma raiz de ordem 3 do denominador.
Passo 5
Uma vez que o denominador tem um zero de ordem 3 em
, isso significa que
tem uma singularidade chamada de pólo em
. A ordem do pólo é igual à ordem da raiz do denominador, ou seja, 3.
Resposta
A função
possui um único ponto singular em
, que é um pólo de ordem 3.
Exercícios relacionados
O ponto
é o zero da ordem
da função
e o zero da ordem
da função
. O zero da qual ordem é
para funções: b)
?
Encontrar a série de Laurent da função
: b) em anel
.
Sejam
e
dois vetores com módulo igual a
. Em cada item, determine o módulo de
considerando que o ângulo
formado entre
e
.
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Usando as técnicas da substituição (direta) ou da integração por partes, encontre a integral indefinida. Justifique sua resposta.