Encontrar a série de Laurent da função : b) em anel .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar a série de Laurent dessa função no anel onde . A série de Laurent é uma representação de funções complexas que generaliza a série de Taylor, permitindo termos com potências negativas. Para resolver isso, vamos precisar manipular frações parciais e expandir em séries que convergem na região dada.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a decomposição em frações parciais da função . Queremos escrever como a soma de duas frações simples:
Encontrando e :
Multiplicamos ambos os lados por :
Para encontrar , substituímos :
Para encontrar , substituímos :
Então, a decomposição em frações parciais fica:
Passo 3
Agora, queremos expandir cada termo em uma série de Laurent válida para . Vamos reescrever cada termo de forma que possamos aplicar a expansão de série geométrica.
Primeiro, para :
Sabemos que para , que é verdade quando , podemos expandir em série geométrica:
Então:
Segundo termo, :
Para , que é verdade quando , temos:
Então:
Passo 4
Agora, substituímos as expansões nas frações parciais que encontramos: