Encontrar a série de Laurent da função f(z) = 1/((z-2)(z-3)) : b) em anel 3 < |z| < +infinito.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar a série de Laurent dessa função no anel onde . A série de Laurent é uma representação de funções complexas que generaliza a série de Taylor, permitindo termos com potências negativas. Para resolver isso, vamos precisar manipular frações parciais e expandir em séries que convergem na região dada.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a decomposição em frações parciais da função . Queremos escrever como a soma de duas frações simples:
Encontrando e :
Multiplicamos ambos os lados por :
Para encontrar , substituímos :
Para encontrar , substituímos :
Então, a decomposição em frações parciais fica:

Passo 3

Agora, queremos expandir cada termo em uma série de Laurent válida para . Vamos reescrever cada termo de forma que possamos aplicar a expansão de série geométrica.
Primeiro, para :
Sabemos que para , que é verdade quando , podemos expandir em série geométrica:
Então:
Segundo termo, :
Para , que é verdade quando , temos:
Então:

Passo 4

Agora, substituímos as expansões nas frações parciais que encontramos:
Podemos combinar as somas:

Resposta

A série de Laurent da função no anel é dada por:

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