Encontrar a relação entre
para um fluido não-newtoniano que segue a relação
para um escoamento no interior de uma canalização circular, em regime laminar.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos um fluido não-newtoniano que flui dentro de uma canalização circular de forma laminar. A relação entre a tensão de cisalhamento (
) e o gradiente de velocidade (
) é dada por:
Queremos descobrir como a velocidade máxima (
) se relaciona com a velocidade média ou de base (
). Para isso, vamos precisar usar conceitos de escoamento laminar em tubos e aplicar a relação dada para fluido não-newtoniano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, em um escoamento laminar dentro de um tubo circular, a distribuição de velocidade depende da viscosidade do fluido. Para fluidos newtonianos, a famosa fórmula de Poiseuille nos dá uma relação direta entre a tensão de cisalhamento e o gradiente de velocidade. No nosso caso, o fluido é não-newtoniano, então essa relação é modificada pela constante
e pelo expoente
.
Passo 3
Sabemos que a tensão de cisalhamento
também está relacionada à pressão e ao raio do tubo. A equação básica que descreve isso é:
onde
é o raio da canalização e
é o gradiente de pressão ao longo do tubo.
Passo 4
Agora, igualamos as duas expressões para
:
Vamos simplificar removendo os sinais negativos:
Passo 5
Para encontrar a distribuição de velocidade
, precisamos integrar essa equação. Primeiro, isolamos
:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
, obtemos a expressão para
:
Onde
é a constante de integração, que podemos determinar usando a condição de que a velocidade no centro do tubo (
) é máxima.
Passo 7
Após integrar, encontramos que a velocidade máxima
ocorre no centro do tubo, e a velocidade na parede do tubo (
) é zero. A relação entre
e
para fluidos não-newtonianos é dada por:
Resposta
A relação entre a velocidade máxima
e a velocidade de base
para um fluido não-newtoniano em escoamento laminar é: