Encontrar a relação entre umax e ub para um fluido não-newtoniano que segue a relação
tau=K(-d ud r)^n
para um escoamento no interior de uma canalização circular, em regime laminar.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos um fluido não-newtoniano que flui dentro de uma canalização circular de forma laminar. A relação entre a tensão de cisalhamento ( tau) e o gradiente de velocidade ( dudr) é dada por:
tau = K(-dudr)^n
Queremos descobrir como a velocidade máxima ( umax) se relaciona com a velocidade média ou de base ( ub). Para isso, vamos precisar usar conceitos de escoamento laminar em tubos e aplicar a relação dada para fluido não-newtoniano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, em um escoamento laminar dentro de um tubo circular, a distribuição de velocidade depende da viscosidade do fluido. Para fluidos newtonianos, a famosa fórmula de Poiseuille nos dá uma relação direta entre a tensão de cisalhamento e o gradiente de velocidade. No nosso caso, o fluido é não-newtoniano, então essa relação é modificada pela constante K e pelo expoente n.

Passo 3

Sabemos que a tensão de cisalhamento tau também está relacionada à pressão e ao raio do tubo. A equação básica que descreve isso é:
tau = -r dPdx
onde r é o raio da canalização e dPdx é o gradiente de pressão ao longo do tubo.

Passo 4

Agora, igualamos as duas expressões para tau:
K(-dudr)^n = -r dPdx
Vamos simplificar removendo os sinais negativos:
K(dudr)^n = r dPdx

Passo 5

Para encontrar a distribuição de velocidade u(r), precisamos integrar essa equação. Primeiro, isolamos dudr:
dudr = (r dPdxK)^1n

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a r, obtemos a expressão para u(r):
u(r) = integral (r dPdxK)^1n dr + C
Onde C é a constante de integração, que podemos determinar usando a condição de que a velocidade no centro do tubo ( r=0) é máxima.

Passo 7

Após integrar, encontramos que a velocidade máxima umax ocorre no centro do tubo, e a velocidade na parede do tubo ( r=R) é zero. A relação entre umax e ub para fluidos não-newtonianos é dada por:
umax = n+1n+2 cdot ub

Resposta

A relação entre a velocidade máxima umax e a velocidade de base ub para um fluido não-newtoniano em escoamento laminar é:
umax = n+1n+2 cdot ub

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