Encontrar a relação entre para um fluido não-newtoniano que segue a relação
para um escoamento no interior de uma canalização circular, em regime laminar.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos um fluido não-newtoniano que flui dentro de uma canalização circular de forma laminar. A relação entre a tensão de cisalhamento ( ) e o gradiente de velocidade ( ) é dada por:
Queremos descobrir como a velocidade máxima ( ) se relaciona com a velocidade média ou de base ( ). Para isso, vamos precisar usar conceitos de escoamento laminar em tubos e aplicar a relação dada para fluido não-newtoniano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, em um escoamento laminar dentro de um tubo circular, a distribuição de velocidade depende da viscosidade do fluido. Para fluidos newtonianos, a famosa fórmula de Poiseuille nos dá uma relação direta entre a tensão de cisalhamento e o gradiente de velocidade. No nosso caso, o fluido é não-newtoniano, então essa relação é modificada pela constante e pelo expoente .

Passo 3

Sabemos que a tensão de cisalhamento também está relacionada à pressão e ao raio do tubo. A equação básica que descreve isso é:
onde é o raio da canalização e é o gradiente de pressão ao longo do tubo.

Passo 4

Agora, igualamos as duas expressões para :
Vamos simplificar removendo os sinais negativos:

Passo 5

Para encontrar a distribuição de velocidade , precisamos integrar essa equação. Primeiro, isolamos :

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a , obtemos a expressão para :
Onde é a constante de integração, que podemos determinar usando a condição de que a velocidade no centro do tubo ( ) é máxima.

Passo 7

Após integrar, encontramos que a velocidade máxima ocorre no centro do tubo, e a velocidade na parede do tubo ( ) é zero. A relação entre e para fluidos não-newtonianos é dada por:

Resposta

A relação entre a velocidade máxima e a velocidade de base para um fluido não-newtoniano em escoamento laminar é:

Exercícios relacionados

Estime o coeficiente de difusão da acetona em água a e utilizando a equação de WilkeChang. Compare com o valor experimental ( a ).
Estime o coeficiente de difusão a e 1 atm para o oxigênio dissolvido em água utilizando as correlações de Stokes-Einsten e Wilke-Chang. Compare os resultados com o valor experimental: .
Estime o coeficiente de difusão em uma mistura acetona e água (B). Esta solução é altamente nãoideal, desta forma . Na acetona pura, o coeficiente de difusão é ; na água pura, . O valor experimental da mistura é .
Um tanque tem duas entradas e uma saída. O fluido é incompressível e sua massa específica pode ser suposta igual a da água. Os diâmetros das duas entradas são iguais, mas o da saída é duas vezes maior. A vazão de massa na primeira entrada é de e o da saída é de . Sabendose que a velocidade da saída é , pede-se determinar a vazão de massa da segunda entrada, supondo o regime permanente.