Encontrar a série de Taylor da função na vizinhança do ponto e determinar o seu raio de convergência para: b) ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a série de Taylor da função em torno do ponto . Além disso, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Taylor e a fórmula da série geométrica.
Passo 2
Primeiro, precisamos reescrever a função de uma forma que facilite a expansão em série de Taylor em torno de . Vamos substituir por , ou seja, .
Passo 3
Substituindo na função:
Agora, vamos fatorar o denominador:
Passo 4
Para aplicar a série geométrica, queremos que o denominador tenha a forma . Vamos ajustar a expressão:
Assim:
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula da série geométrica para . Aqui, , então:
Passo 6
Simplificando a série, temos:
Passo 7
Para encontrar o raio de convergência , usamos a condição :