Encontrar a série de Taylor da função f(z) na vizinhança do ponto z0 e determinar o seu raio de convergência R para: b) f(z) = 1 / (3z + 1), z0 = -2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a série de Taylor da função em torno do ponto . Além disso, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Taylor e a fórmula da série geométrica.

Passo 2

Primeiro, precisamos reescrever a função de uma forma que facilite a expansão em série de Taylor em torno de . Vamos substituir por , ou seja, .

Passo 3

Substituindo na função:
Agora, vamos fatorar o denominador:

Passo 4

Para aplicar a série geométrica, queremos que o denominador tenha a forma . Vamos ajustar a expressão:
Assim:

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da série geométrica para . Aqui, , então:

Passo 6

Simplificando a série, temos:

Passo 7

Para encontrar o raio de convergência , usamos a condição :
Portanto, o raio de convergência é .

Resposta

A série de Taylor de em torno de é:
E o raio de convergência dessa série é .

Exercícios relacionados