Encontre a solução de cada PVI

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem que você me mandou. A equação é com as condições iniciais e . Nossa missão é encontrar a função que satisfaz essa equação e essas condições. Para isso, vamos precisar usar o método da equação característica, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma mais simples. Dividindo toda a equação por 5, temos:
Isso nos deixa com uma equação mais fácil de trabalhar.

Passo 3

Agora, vamos formar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma , a equação característica é . No nosso caso, e . Então, a equação característica fica:

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Substituindo , , e :
Como a raiz é de um número negativo, os valores de serão complexos.

Passo 5

Vamos simplificar a raiz:
Então, os valores de são:

Passo 6

Com os valores de encontrados, sabemos que a solução geral da equação diferencial é:
Onde e . Então, nossa solução fica:

Passo 7

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de e .
Primeiro, para :
Então, .

Passo 8

Agora, vamos encontrar usando a derivada da solução. Primeiro, calculamos :
Simplificando e avaliando em :
Resolvendo para :

Resposta

A solução do PVI é:

Exercícios relacionados

Prove, utilizando a definição formal de limites, que:
.
Encontrar a solução geral das seguintes equações de segunda ordem e determine se as soluções são fundamenntais.
.
Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
.
Encontrar a solução geral das seguintes equações de segunda ordem e determine se as soluções são fundamenntais.
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