Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem que você me mandou. A equação é com as condições iniciais e . Nossa missão é encontrar a função que satisfaz essa equação e essas condições. Para isso, vamos precisar usar o método da equação característica, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma mais simples. Dividindo toda a equação por 5, temos:
Isso nos deixa com uma equação mais fácil de trabalhar.
Passo 3
Agora, vamos formar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma , a equação característica é . No nosso caso, e . Então, a equação característica fica:
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Substituindo , , e :
Como a raiz é de um número negativo, os valores de serão complexos.
Passo 5
Vamos simplificar a raiz:
Então, os valores de são:
Passo 6
Com os valores de encontrados, sabemos que a solução geral da equação diferencial é:
Onde e . Então, nossa solução fica:
Passo 7
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de e .
Primeiro, para :
Então, .
Passo 8
Agora, vamos encontrar usando a derivada da solução. Primeiro, calculamos :