Se um sólido se encontra no primeiro octante, e é delimitado pelos planos y=0, z=0, y = x e pelo cilindro z + x^2 = 2, então seu volume vale
a) 4 .
b) 1 .
c) 2 .
d) 8 .
e) 5 .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sólido que está no primeiro octante (onde , e são positivos) e é limitado pelos planos , , e pelo cilindro . Para encontrar o volume desse sólido, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais triplas.

Passo 2

Vamos identificar os limites de integração para cada variável. No primeiro octante:
  • varia de 0 até o valor onde o cilindro e os planos se encontram. A partir da equação do cilindro , quando , temos , então varia de 0 a .
  • Para cada valor de , varia de 0 até (devido ao plano ).
  • Para cada par , varia de 0 até (da equação do cilindro).

Passo 3

Vamos montar a integral tripla para calcular o volume :

Passo 4

Vamos resolver a integral passo a passo:
  1. Integra com relação a :
  1. Agora, integra com relação a :
  1. Por fim, integra com relação a :

Passo 5

Calculando a última integral:
Avaliado de 0 a :

Resposta

A resposta correta é a alternativa b) 1.

Exercícios relacionados

Um ponto P possui o terno ordenado (raiz(3), 1, -1) como coordenadas cartesianas. Dessa forma, o terno ordenado que representa esse mesmo ponto em coordenadas cilíndricas é
a) (2, pi / 3, -1).
b) (2, 3 pi / 4, 1).
c) (2, pi / 4, -1).
d) (2, pi / 6, -1).
e) (2, pi/3, 1).
Encontrar a solução geral das seguintes equações de segunda ordem e determine se as soluções são fundamenntais.
© t^2 y'' + 3 t y' - 3 y = 0.
Use o teste da comparação para determinar se a série é convergente ou divergente: sumn=2^infty 3ln (n^2)
Use algum teste apropriado para determinar se a série é convergente ou divergente: sumn=1^infty tan (1n)