Se um sólido se encontra no primeiro octante, e é delimitado pelos planos
,
e pelo cilindro
, então seu volume vale
a) 4 .
b) 1 .
c) 2 .
d) 8 .
e) 5 .
a) 4 .
b) 1 .
c) 2 .
d) 8 .
e) 5 .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sólido que está no primeiro octante (onde
,
e
são positivos) e é limitado pelos planos
,
,
e pelo cilindro
. Para encontrar o volume desse sólido, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais triplas.
Passo 2
Vamos identificar os limites de integração para cada variável. No primeiro octante:
-
varia de 0 até o valor onde o cilindro e os planos se encontram. A partir da equação do cilindro , quando , temos , então varia de 0 a . - Para cada valor de
, varia de 0 até (devido ao plano ). - Para cada par
, varia de 0 até (da equação do cilindro).
Passo 3
Vamos montar a integral tripla para calcular o volume
:
Passo 4
Vamos resolver a integral passo a passo:
- Integra com relação a
:
- Agora, integra com relação a
:
- Por fim, integra com relação a
:
Passo 5
Calculando a última integral:
Avaliado de 0 a
:
Resposta
A resposta correta é a alternativa b) 1.
Exercícios relacionados
Um ponto
possui o terno ordenado
como coordenadas cartesianas. Dessa forma, o terno ordenado que representa esse mesmo ponto em coordenadas cilíndricas é
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
a)
b)
c)
d)
e)
Encontrar a solução geral das seguintes equações de segunda ordem e determine se as soluções são fundamenntais.
© .
©
Use o teste da comparação para determinar se a série é convergente ou divergente:
Use algum teste apropriado para determinar se a série é convergente ou divergente: