Encontrar a taxa máxima de variação de
no ponto
e determinar em que direção ocorre.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a taxa máxima de variação da função
no ponto
e determinar em que direção isso ocorre. Vamos usar o conceito de gradiente, que nos ajuda a encontrar a direção de maior variação de uma função em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais da função em relação a
e
. Ou seja:
Passo 3
Vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui, usamos a regra do produto porque temos um produto de duas funções de
.
Passo 4
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Novamente, aplicamos a regra do produto.
Passo 6
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 7
Agora que temos as derivadas parciais, o gradiente da função é:
Passo 8
Vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Substituindo
e
:
Então, o gradiente em
é:
Passo 9
A taxa máxima de variação da função em
é dada pelo módulo do gradiente nesse ponto:
Passo 10
A direção em que essa taxa máxima ocorre é na mesma direção do gradiente. Para obter um vetor unitário nessa direção, dividimos o gradiente pelo seu módulo:
Resposta
A taxa máxima de variação da função em
é
e ocorre na direção do vetor
.
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5
Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
a) ;
Obter as soluções gerais das EDO de
a)
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
e) ;
e)
Imagine que, em certa região do espaço, o potencial elétrico
, em Volts, seja expresso pela função
, com as coordenadas
e
dadas em metros. Determinar a taxa de variação de
no ponto
e na direção de
.
Encontre a derivada direcional de
no ponto
e na direção do vetor
.