Imagine que, em certa região do espaço, o potencial elétrico , em Volts, seja expresso pela função , com as coordenadas e dadas em metros. Determinar a taxa de variação de no ponto e na direção de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a taxa de variação do potencial elétrico no ponto na direção do vetor . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e derivadas direcionais. Para isso, vamos precisar calcular o gradiente de , normalizar o vetor para obter um vetor unitário na direção desejada e, por fim, fazer o produto escalar entre o gradiente e esse vetor unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente do potencial . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis:
Calculando cada derivada parcial:
Então, o gradiente de é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo , e :
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 4

O próximo passo é normalizar o vetor para obter um vetor unitário na mesma direção. A fórmula para normalizar um vetor é dividir cada componente pelo módulo do vetor.
Primeiro, calculamos o módulo de :
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 5

Finalmente, vamos calcular a derivada direcional de na direção de usando o gradiente e o vetor unitário:
Fazendo o produto escalar:
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por :

Resposta

A taxa de variação do potencial elétrico no ponto na direção de é igual a V/m.

Exercícios relacionados

Encontrar a taxa máxima de variação de no ponto e determinar em que direção ocorre.
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Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
a) ;
Encontre a derivada direcional de no ponto e na direção do vetor .
Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
m) ;