Imagine que, em certa região do espaço, o potencial elétrico
, em Volts, seja expresso pela função
, com as coordenadas
e
dadas em metros. Determinar a taxa de variação de
no ponto
e na direção de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a taxa de variação do potencial elétrico
no ponto
na direção do vetor
. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e derivadas direcionais. Para isso, vamos precisar calcular o gradiente de
, normalizar o vetor
para obter um vetor unitário na direção desejada e, por fim, fazer o produto escalar entre o gradiente e esse vetor unitário.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente do potencial
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis:
Calculando cada derivada parcial:
Então, o gradiente de
é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
. Substituindo
,
e
:
Portanto, o gradiente no ponto
é:
Passo 4
O próximo passo é normalizar o vetor
para obter um vetor unitário na mesma direção. A fórmula para normalizar um vetor é dividir cada componente pelo módulo do vetor.
Primeiro, calculamos o módulo de
:
Então, o vetor unitário
na direção de
é:
Passo 5
Finalmente, vamos calcular a derivada direcional de
na direção de
usando o gradiente e o vetor unitário:
Fazendo o produto escalar:
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por
:
Resposta
A taxa de variação do potencial elétrico
no ponto
na direção de
é igual a
V/m.
Exercícios relacionados
Encontrar a taxa máxima de variação de
no ponto
e determinar em que direção ocorre.
5
Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
a) ;
Obter as soluções gerais das EDO de
a)
Encontre a derivada direcional de
no ponto
e na direção do vetor
.
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
m) ;
m)