Encontre a derivada direcional de no ponto e na direção do vetor .

Passo 1

Então, a gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Isso está dentro do estudo de cálculo de derivadas parciais e derivadas direcionais. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , normalizar o vetor e usar a fórmula da derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
Para :
Usamos a regra do produto e da cadeia:
Simplificando:
Para :

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto .
Para em :
Para em :

Passo 4

Agora, precisamos normalizar o vetor . A normalização envolve dividir o vetor pela sua magnitude.
A magnitude de é:
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 5

Agora, usamos a fórmula da derivada direcional:
Substituindo os valores que calculamos:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é .

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m) ;
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d) ;