Encontre a derivada direcional de
no ponto
e na direção do vetor
.
Passo 1
Então, a gente precisa encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Isso está dentro do estudo de cálculo de derivadas parciais e derivadas direcionais. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, normalizar o vetor
e usar a fórmula da derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Para
:
Usamos a regra do produto e da cadeia:
Usamos a regra do produto e da cadeia:
Simplificando:
Para
:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto
.
Para
em
:
Para
em
:
Passo 4
Agora, precisamos normalizar o vetor
. A normalização envolve dividir o vetor pela sua magnitude.
A magnitude de
é:
Então, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 5
Agora, usamos a fórmula da derivada direcional:
Substituindo os valores que calculamos:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é
.
Exercícios relacionados
Imagine que, em certa região do espaço, o potencial elétrico
, em Volts, seja expresso pela função
, com as coordenadas
e
dadas em metros. Determinar a taxa de variação de
no ponto
e na direção de
.
Encontrar a taxa máxima de variação de
no ponto
e determinar em que direção ocorre.
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
m) ;
m)
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
d) ;
d)