5
Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
a) ;

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem: . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre EDOs de primeira ordem, especificamente do tipo linear. O que precisamos para resolver essa equação é identificar os termos que correspondem à forma padrão da EDO linear e então aplicar o método do fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos arrumar a equação para deixar na forma padrão de uma EDO linear, que é .
A equação dada é:
Vamos isolar :
Dividindo todos os termos por para ficar na forma padrão:
Agora, identificamos e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação e integrá-la facilmente. O fator integrante é dado por:
Substituindo :
Como estamos lidando com soluções gerais, podemos simplificar para .

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante :
Simplificando:
Agora, a esquerda da equação é a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, resolvemos para :
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

Verificação

Para verificar, substituímos na equação original:
Calculando :
Substituindo:
A verificação confirma que a solução está correta.

Exercícios relacionados

Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
e) ;
Encontre a derivada direcional de no ponto e na direção de P a Q(2, 5).
Encontrar a taxa máxima de variação de no ponto e determinar em que direção ocorre.
Imagine que, em certa região do espaço, o potencial elétrico , em Volts, seja expresso pela função , com as coordenadas e dadas em metros. Determinar a taxa de variação de no ponto e na direção de .