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Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
a)
;
Obter as soluções gerais das EDO de
a)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem:
. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre EDOs de primeira ordem, especificamente do tipo linear. O que precisamos para resolver essa equação é identificar os termos que correspondem à forma padrão da EDO linear e então aplicar o método do fator integrante para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos arrumar a equação para deixar na forma padrão de uma EDO linear, que é
.
A equação dada é:
Vamos isolar
:
Dividindo todos os termos por
para ficar na forma padrão:
Agora, identificamos
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação e integrá-la facilmente. O fator integrante
é dado por:
Substituindo
:
Como estamos lidando com soluções gerais, podemos simplificar para
.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante
:
Simplificando:
Agora, a esquerda da equação é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, resolvemos para
:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
Verificação
Para verificar, substituímos
na equação original:
Calculando
:
Substituindo:
A verificação confirma que a solução está correta.
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Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
e) ;
e)
Encontre a derivada direcional de
no ponto
e na direção de P a Q(2, 5).
Encontrar a taxa máxima de variação de
no ponto
e determinar em que direção ocorre.
Imagine que, em certa região do espaço, o potencial elétrico
, em Volts, seja expresso pela função
, com as coordenadas
e
dadas em metros. Determinar a taxa de variação de
no ponto
e na direção de
.