Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
e)
;
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária (EDO) que envolve derivadas de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata ou se precisamos encontrar um fator integrante. Se for exata, podemos integrar diretamente; se não, procuramos uma maneira de torná-la exata.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na equação:
Uma equação diferencial na forma
é chamada de exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Então, vamos calcular essas derivadas.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Agora, comparamos:
Claramente,
, então a equação não é exata. Precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 4
Vamos procurar um fator integrante que depende apenas de
. Suponha que o fator seja
. Multiplicando toda a equação por
:
Para que a equação se torne exata, devemos ter:
Calculando as derivadas:
Igualando as duas expressões:
Para essa igualdade ser válida para todos os
, os coeficientes dos termos em
devem ser iguais. Observando os termos, percebemos que não há uma solução simples para
que satisfaça essa condição. Portanto, vamos tentar um fator integrante que depende de
.
Passo 5
Vamos supor que o fator integrante dependa de
, ou seja,
. Multiplicando toda a equação por
:
Para que a equação seja exata:
Calculando as derivadas:
Igualando as duas expressões:
Novamente, vemos que não há uma solução simples para
. Portanto, vamos tentar outro método: a Equação Linear.
Passo 6
Reescrevendo a equação original na forma padrão de equação linear:
Dividindo toda a equação original por
:
Essa forma não é exatamente linear, então vamos tentar uma substituição. Vamos fazer
, o que pode simplificar a equação.
Passo 7
Substituindo
, então
.
Vamos substituir na equação:
Como
, podemos expressar
e
. Substituindo:
Ainda complicada, então vamos tentar outra abordagem: Separação de Variáveis.
Passo 8
Vamos tentar separar as variáveis
e
. Reescrevendo a equação original:
Dividindo ambos os termos por
:
Ainda não está claramente separável, então vamos considerar outra substituição:
.
Passo 9
Tomando
, então
.
Substituindo na equação:
Expressando em termos de
:
Portanto:
Ainda não simplifica de forma útil. Parece que essa equação exige um método mais avançado ou talvez uma solução implícita.
Passo 10
Vamos tentar integrar diretamente assumindo que conseguimos encontrar uma solução implícita. Considerando a equação original:
Integrando
em relação a
:
Agora, derivamos essa expressão em relação a
e igualamos a
:
Igualando a
:
Claramente, não há consistência, indicando que precisamos de outra abordagem ou que a solução pode não ser expressa de forma elementar.
Resposta
Após tentativas de diferentes métodos, concluímos que a equação diferencial fornecida não é exata e não se adapta facilmente a métodos padrão como separação de variáveis ou integrações diretas. Portanto, a solução geral da EDO é implementada de forma implícita ou requer métodos mais avançados, que não são cobertos nos passos apresentados.
Exercícios relacionados
Encontre a derivada direcional de
no ponto
e na direção de P a Q(2, 5).
Suponha que a função
, em que
é medida em graus Celsius e x e y são medidos em metros, represente uma distribuição de temperatura no plano
. Qual é a direção de maior crescimento da temperatura no ponto P?
5
Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
a) ;
Obter as soluções gerais das EDO de
a)
Encontrar a taxa máxima de variação de
no ponto
e determinar em que direção ocorre.