Encontrar a taxa máxima de variação de no ponto e determinar em que direção ocorre.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a taxa máxima de variação da função no ponto e descobrir em que direção essa variação ocorre. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a taxa máxima de variação. Em cálculo multivariável, a taxa máxima de variação de uma função em um ponto é dada pelo módulo do vetor gradiente da função nesse ponto. O gradiente aponta na direção em que a função cresce mais rapidamente.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor composto pelas derivadas parciais da função em relação a e . Ou seja:

Passo 4

Calculando a derivada parcial em relação a :
Calculando a derivada parcial em relação a :

Passo 5

Agora, avaliamos o gradiente no ponto . Substituindo e nas derivadas calculadas:
Portanto, o gradiente no ponto é .

Passo 6

A taxa máxima de variação é o módulo desse vetor gradiente. Calculamos o módulo de usando a fórmula:

Passo 7

A direção em que ocorre essa variação máxima é a direção do próprio vetor gradiente. Para encontrarmos o vetor unitário nessa direção, normalizamos o gradiente dividindo cada componente pelo módulo calculado:
çã

Resposta

A taxa máxima de variação de no ponto é aproximadamente . Essa variação ocorre na direção do vetor .

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