Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
m)
;
m)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de 1ª ordem que é a seguinte:
Aqui, estamos lidando com Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata ou se precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Isso nos ajudará a encontrar a solução geral da EDO.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão:
Onde:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Passo 4
Comparamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Precisamos então encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 5
Vamos calcular o fator integrante que depende apenas de
. A fórmula para o fator integrante quando a diferença das derivadas é função de
é:
Calculando a diferença das derivadas:
Então:
Integrando:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, a equação é exata. Vamos encontrar uma função
tal que:
Integrando com respeito a
:
A integral de
é
. Para a segunda parte, fazemos a substituição
, mas como
é tratada como constante na integração em relação a
, a integral se simplifica a:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
A solução geral da equação diferencial é então:
Podemos escrever de forma simplificada como:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Encontre a derivada direcional de
no ponto
e na direção do vetor
.
Imagine que, em certa região do espaço, o potencial elétrico
, em Volts, seja expresso pela função
, com as coordenadas
e
dadas em metros. Determinar a taxa de variação de
no ponto
e na direção de
.
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
d) ;
d)
Encontrar a taxa máxima de variação de
no ponto
e determinar em que direção ocorre.