Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
m) ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de 1ª ordem que é a seguinte:
Aqui, estamos lidando com Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata ou se precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Isso nos ajudará a encontrar a solução geral da EDO.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão:
Onde:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :

Passo 4

Comparamos as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Precisamos então encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 5

Vamos calcular o fator integrante que depende apenas de . A fórmula para o fator integrante quando a diferença das derivadas é função de é:
Calculando a diferença das derivadas:
Então:
Integrando:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 7

Agora, a equação é exata. Vamos encontrar uma função tal que:
Integrando com respeito a :
A integral de é . Para a segunda parte, fazemos a substituição , mas como é tratada como constante na integração em relação a , a integral se simplifica a:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

A solução geral da equação diferencial é então:
Podemos escrever de forma simplificada como:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
d) ;
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