Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
d)
;
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que você trouxe:
Aqui, estamos lidando com Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender conceitos como equações exatas e fatores integrantes.
Passo 2
Primeiro, vamos arrumar a equação no formato padrão de uma EDO de primeira ordem:
Comparando, temos:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Uma equação é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Como a equação é exata, existe uma função potencial
tal que:
Para encontrar
, integramos
em relação a
:
Passo 5
Vamos integrar termo por termo:
-
(onde é tratado como constante em relação a ) -
: aqui usamos integração por partes. - Seja
e - Então,
e - Aplicando integração por partes:
- Seja
-
Juntando tudo:
Passo 6
Agora, encontramos a função
derivando
em relação a
e igualando a
:
Isso implica que
, então
é uma constante, que podemos chamar de
.
Passo 7
Portanto, a função potencial é:
Como
, temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante qualquer.
Exercícios relacionados
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
m) ;
m)
Encontre a derivada direcional de
no ponto
e na direção do vetor
.
Encontrar a taxa máxima de variação de
no ponto
e determinar em que direção ocorre.
Calcule os seguintes limites justificando sua resposta…