Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
i)
;
i)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem dada por:
Nosso objetivo é encontrar as soluções gerais dessa EDO e depois verificar se estão certinhas. Para isso, vamos ver se a equação é exata, ou seja, se existe uma função potencial
que a descreve.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da equação:
Agora, para verificar se a equação é exata, a gente calcula as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata. Isso significa que existe uma função
tal que:
Passo 3
Vamos encontrar a função potencial
. Começamos integrando
em relação a
:
Integrando termo a termo:
Aqui,
é uma função de
que aparece por causa da constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos pegar a derivada de
em relação a
e igualar a
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, substituímos
de volta na expressão de
:
Como queremos a solução geral, deixamos
, onde
é uma constante qualquer. Então:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites justificando sua resposta…
Encontrar a taxa máxima de variação de
no ponto
e determinar em que direção ocorre.
Imagine que, em certa região do espaço, o potencial elétrico
, em Volts, seja expresso pela função
, com as coordenadas
e
dadas em metros. Qual é a direção de maior variação de V no ponto P ?
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
n) ;
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