Encontrar o vetor unitário que tenha (I) o mesmo sentido de v e (II) sentido contrario a v nos casos:
a) v=-i+j
b)v=3i-j
c)v=1,raiz² de 3
d)v=(0,4)

Passo 1

Então, o que a gente precisa aqui é encontrar um vetor unitário que tenha (I) o mesmo sentido de um vetor dado v e (II) sentido contrário a v. Um vetor unitário tem comprimento 1, ou seja, é um vetor com magnitude igual a 1. Para isso, vamos precisar saber como calcular a magnitude de um vetor e como normalizá-lo. Vamos lá resolver cada caso!

Passo 2

a) $ v = -\mathbf{i} + \mathbf{j} $

Primeiro, vamos encontrar a magnitude de v:
v = -i + j
Agora, para ter o mesmo sentido de v, dividimos cada componente de v pela sua magnitude:
|v| = raiz(-1)^2 + 1^2 = raiz1 + 1 = raiz2
Para o sentido contrário, multiplicamos o vetor unitário por -1:
u = v|v| = -i + jraiz2 = -1raiz2i + 1raiz2j á

b) $ v = 3\mathbf{i} - \mathbf{j} $

Magnitude de v:
ucontrário = -u = 1raiz2i - 1raiz2j
Vetor unitário com mesmo sentido:
v = 3i - j
Vetor unitário com sentido contrário:
|v| = raiz3^2 + (-1)^2 = raiz9 + 1 = raiz10 á

c) $ v = \mathbf{1} + \sqrt{2}\mathbf{j} $

Magnitude de v:
u = 3i - jraiz10 = 3raiz10i - 1raiz10j
Vetor unitário com mesmo sentido:
ucontrário = -u = -3raiz10i + 1raiz10j
Vetor unitário com sentido contrário:
v = 1 + raiz2j á

d) $ v = (0, 4) $

Aqui, v é um vetor no plano, então podemos escrever como $ v = 0\mathbf{i} + 4\mathbf{j} $.
Magnitude de v:
|v| = raiz1^2 + (raiz2)^2 = raiz1 + 2 = raiz3
Vetor unitário com mesmo sentido:
u = i + raiz2jraiz3 = 1raiz3i + raiz2raiz3j
Vetor unitário com sentido contrário:
ucontrário = -u = -1raiz3i - raiz2raiz3j á

Resposta

a)

  • Mesmo sentido: $ \mathbf{u} = -\frac{1}{\sqrt{2}}\mathbf{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\mathbf{j} $
  • Sentido contrário: $ \mathbf{u}_{contrário} = \frac{1}{\sqrt{2}}\mathbf{i} - \frac{1}{\sqrt{2}}\mathbf{j} $

b)

  • Mesmo sentido: $ \mathbf{u} = \frac{3}{\sqrt{10}}\mathbf{i} - \frac{1}{\sqrt{10}}\mathbf{j} $
  • Sentido contrário: $ \mathbf{u}_{contrário} = -\frac{3}{\sqrt{10}}\mathbf{i} + \frac{1}{\sqrt{10}}\mathbf{j} $

c)

  • Mesmo sentido: $ \mathbf{u} = \frac{1}{\sqrt{3}}\mathbf{i} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\mathbf{j} $
  • Sentido contrário: $ \mathbf{u}_{contrário} = -\frac{1}{\sqrt{3}}\mathbf{i} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\mathbf{j} $

d)

  • Mesmo sentido: $ \mathbf{u} = \mathbf{j} $
  • Sentido contrário: $ \mathbf{u}_{contrário} = -\mathbf{j} $

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