Encontrar o vetor unitário que tenha (I) o mesmo sentido de v e (II) sentido contrario a v nos casos:
a) v=-i+j
b)v=3i-j
c)v=1,raiz² de 3
d)v=(0,4)
a) v=-i+j
b)v=3i-j
c)v=1,raiz² de 3
d)v=(0,4)
Passo 1
Então, o que a gente precisa aqui é encontrar um vetor unitário que tenha (I) o mesmo sentido de um vetor dado v e (II) sentido contrário a v. Um vetor unitário tem comprimento 1, ou seja, é um vetor com magnitude igual a 1. Para isso, vamos precisar saber como calcular a magnitude de um vetor e como normalizá-lo. Vamos lá resolver cada caso!
Passo 2
a) $ v = -\mathbf{i} + \mathbf{j} $
Primeiro, vamos encontrar a magnitude de v:
Agora, para ter o mesmo sentido de v, dividimos cada componente de v pela sua magnitude:
Para o sentido contrário, multiplicamos o vetor unitário por -1:
b) $ v = 3\mathbf{i} - \mathbf{j} $
Magnitude de v:
Vetor unitário com mesmo sentido:
Vetor unitário com sentido contrário:
c) $ v = \mathbf{1} + \sqrt{2}\mathbf{j} $
Magnitude de v:
Vetor unitário com mesmo sentido:
Vetor unitário com sentido contrário:
d) $ v = (0, 4) $
Aqui, v é um vetor no plano, então podemos escrever como $ v = 0\mathbf{i} + 4\mathbf{j} $.
Magnitude de v:
Vetor unitário com mesmo sentido:
Vetor unitário com sentido contrário:
Resposta
a)
- Mesmo sentido: $ \mathbf{u} = -\frac{1}{\sqrt{2}}\mathbf{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\mathbf{j} $
- Sentido contrário: $ \mathbf{u}_{contrário} = \frac{1}{\sqrt{2}}\mathbf{i} - \frac{1}{\sqrt{2}}\mathbf{j} $
b)
- Mesmo sentido: $ \mathbf{u} = \frac{3}{\sqrt{10}}\mathbf{i} - \frac{1}{\sqrt{10}}\mathbf{j} $
- Sentido contrário: $ \mathbf{u}_{contrário} = -\frac{3}{\sqrt{10}}\mathbf{i} + \frac{1}{\sqrt{10}}\mathbf{j} $
c)
- Mesmo sentido: $ \mathbf{u} = \frac{1}{\sqrt{3}}\mathbf{i} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\mathbf{j} $
- Sentido contrário: $ \mathbf{u}_{contrário} = -\frac{1}{\sqrt{3}}\mathbf{i} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\mathbf{j} $
d)
- Mesmo sentido: $ \mathbf{u} = \mathbf{j} $
- Sentido contrário: $ \mathbf{u}_{contrário} = -\mathbf{j} $