Seja
a temperatura no ponto
na elipse
e suponha que
$(b) Suponha que
. Encontre os valores máximo e mínimo de
na elipse.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de temperatura
que está definida ao longo de uma elipse dada por:
O objetivo aqui é encontrar os valores máximo e mínimo de
nessa elipse. Isso é um problema de otimização condicionada, onde a gente quer otimizar (maximizar ou minimizar) uma função sujeita a uma condição (neste caso, a equação da elipse).
Passo 2
Primeiro, vamos substituir as expressões de
e
na função
para expressá-la em termos de
. Assim:
Vamos simplificar isso:
Passo 3
Agora, lembrando de trigonometria, sabemos que:
Então, podemos reescrever
como:
Portanto, a função
fica:
Passo 4
Para encontrar os valores máximo e mínimo de
, precisamos analisar os valores que
pode assumir. Sabemos que:
Multiplicando tudo por 2:
E subtraindo 2:
Então, os valores de
variam entre -4 e 0.
Passo 5
Para confirmar, podemos verificar para quais valores de
esses extremos ocorrem.
-
Máximo de
: Quando , ou seja, , então . -
Mínimo de
: Quando , ou seja, , então .
Resposta
O valor máximo de
na elipse é 0 e o valor mínimo é -4.
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Encontre
, nos seguintes casos:
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Resolva, usando Transformada de Laplace, o Problema de Valor Inicial
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Dados
e
e
determinar:
d) .
d)