Seja T=g(x, y) a temperatura no ponto (x, y) na elipse x=2 raiz2 cos t, y=raiz2 sent 0 <= t <= 2 pi e suponha que
partial Tpartial x=y, partial Tpartial y=x
$(b) Suponha que (b) Suponha que . Encontre os valores máximo e mínimo de Encontre os valores máximo e mínimo de na elipse.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de temperatura x = 2 raiz2 cos t, y = raiz2 sin t para 0 <= t <= 2pi que está definida ao longo de uma elipse dada por:
O objetivo aqui é encontrar os valores máximo e mínimo de nessa elipse. Isso é um problema de otimização condicionada, onde a gente quer otimizar (maximizar ou minimizar) uma função sujeita a uma condição (neste caso, a equação da elipse).

Passo 2

Primeiro, vamos substituir as expressões de T(t) = x y - 2 = (2 raiz2 cos t)(raiz2 sin t) - 2 e T(t) = 2 raiz2 cdot raiz2 cos t sin t - 2 = 4 cos t sin t - 2 na função para expressá-la em termos de . Assim:
Vamos simplificar isso:

Passo 3

Agora, lembrando de trigonometria, sabemos que:
sin 2t = 2 sin t cos t
Então, podemos reescrever 4 cos t sin t = 2 sin 2t como:
T(t) = 2 sin 2t - 2
Portanto, a função fica:

Passo 4

Para encontrar os valores máximo e mínimo de -1 <= sin 2t <= 1 , precisamos analisar os valores que -2 <= 2 sin 2t <= 2 pode assumir. Sabemos que:
-4 <= 2 sin 2t - 2 <= 0
Multiplicando tudo por 2:
E subtraindo 2:
Então, os valores de variam entre -4 e 0.

Passo 5

Para confirmar, podemos verificar para quais valores de esses extremos ocorrem.
  • Máximo de : Quando , ou seja, , então .
  • Mínimo de : Quando , ou seja, , então .

Resposta

O valor máximo de na elipse é 0 e o valor mínimo é -4.

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