Resolva, usando Transformada de Laplace, o Problema de Valor Inicial
que determina as oscilações forçadas não amortecidas de um sistema massa mola.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Temos uma equação diferencial que descreve as oscilações forçadas de um sistema massa-mola sem amortecimento. A equação é:
Com as condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Vamos precisar conhecer as propriedades da Transformada de Laplace e como aplicá-la a equações diferenciais com condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a Transformada de Laplace de
é:
Como
e
, isso simplifica para
. Assim, a Transformada de Laplace da equação fica:
Aqui, usamos que
.
Passo 3
Agora, vamos isolar
. Fatorando
na equação:
Então, dividindo ambos os lados por
:
Passo 4
Para encontrar
, precisamos fazer a Transformada de Laplace inversa de
. Primeiro, vamos decompor a fração
em frações parciais. Assumimos que
e escrevemos:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Passo 5
Para encontrar
e
, escolhemos valores de
que simplifiquem a equação.
Se
:
Se
:
Portanto:
Passo 6
Substituindo
e
na expressão original de
:
Passo 7
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa para encontrar
. Lembrando que
, temos:
Simplificando:
Resposta
A solução do problema é:
Exercícios relacionados
Seja
a temperatura no ponto
na elipse
e suponha que
$(b) Suponha que
. Encontre os valores máximo e mínimo de
na elipse.
Encontre
, nos seguintes casos:
Dados
e
e
determinar:
d) .
d)
Calcule as derivadas das funções vetoriais