Resolva, usando Transformada de Laplace, o Problema de Valor Inicial
x''(t) + omega0^2 * x(t) = F0 * sen(omega * t) ; x(0) = 0 e x'(0) = 0
que determina as oscilações forçadas não amortecidas de um sistema massa mola.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Temos uma equação diferencial que descreve as oscilações forçadas de um sistema massa-mola sem amortecimento. A equação é:
Com as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Vamos precisar conhecer as propriedades da Transformada de Laplace e como aplicá-la a equações diferenciais com condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a Transformada de Laplace de é:
Como e , isso simplifica para . Assim, a Transformada de Laplace da equação fica:
Aqui, usamos que .

Passo 3

Agora, vamos isolar . Fatorando na equação:
Então, dividindo ambos os lados por :

Passo 4

Para encontrar , precisamos fazer a Transformada de Laplace inversa de . Primeiro, vamos decompor a fração em frações parciais. Assumimos que e escrevemos:
Multiplicando ambos os lados por , temos:

Passo 5

Para encontrar e , escolhemos valores de que simplifiquem a equação.
Se :
Se :
Portanto:

Passo 6

Substituindo e na expressão original de :

Passo 7

Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa para encontrar . Lembrando que , temos:
Simplificando:

Resposta

A solução do problema é:

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