Seja T=g(x, y) a temperatura no ponto (x, y) na elipse x=2 raiz2 cos t, y=raiz2 sent 0 <= t <= 2 pi e suponha que
partial Tpartial x=y, partial Tpartial y=x
$(a) Localize as temperaturas máxima e mínima na elipse examinando (a) Localize as temperaturas máxima e mínima na elipse examinando

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. Aqui, a gente tem uma função de temperatura x = 2 raiz2 cos t, y = raiz2 sin t, 0 <= t <= 2pi definida em um ponto partial Tpartial x = y, partial Tpartial y = x sobre a elipse dada por:
A gente também sabe que as derivadas parciais de são:
A tarefa é encontrar as temperaturas máxima e mínima na elipse analisando e . Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial e entender como calcular derivadas de funções parametrizadas.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar T(t) = g(x(t), y(t)) em termos de dTdt = partial Tpartial x cdot dxdt + partial Tpartial y cdot dydt . Como dTdt = y cdot dxdt + x cdot dydt e são funções de , podemos escrever:
Para encontrar , usamos a regra da cadeia:
Substituindo as derivadas parciais fornecidas:

Passo 3

Agora, vamos calcular x = 2 raiz2 cos t Rightarrow dxdt = -2 raiz2 sin t e y = raiz2 sin t Rightarrow dydt = raiz2 cos t a partir das equações paramétricas da elipse:
dTdt = y cdot (-2 raiz2 sin t) + x cdot (raiz2 cos t)
Substituindo esses valores na expressão de :

Passo 4

Vamos substituir dTdt = (raiz2 sin t) cdot (-2 raiz2 sin t) + (2 raiz2 cos t) cdot (raiz2 cos t) e dTdt = -2 cdot 2 sin^2 t + 2 cdot 2 cos^2 t = -4 sin^2 t + 4 cos^2 t pelas suas expressões em termos de dTdt = 4 (cos^2 t - sin^2 t) = 4 cos 2t :
Simplificando:
Podemos factorar o 4:
Usei a identidade trigonométrica .

Passo 5

Para encontrar os extremos de 4 cos 2t = 0 Rightarrow cos 2t = 0 , precisamos achar onde 2t = pi2 + kpi Rightarrow t = pi4 + kpi2, k in Z :
t = pi4, 3pi4, 5pi4, 7pi4
Isso acontece quando:
Dentro do intervalo , os valores de são:

Passo 6

Agora, vamos analisar a segunda derivada d^2 Tdt^2 = ddt (4 cos 2t) = -8 sin 2t para determinar se cada ponto é máximo ou mínimo. Primeiro, derivamos :
Avaliaremos em cada valor de encontrado.

Passo 7

Vamos verificar cada caso:
  1. Para d^2 Tdt^2 = -8 sin (2 cdot pi4) = -8 sin (pi2) = -8 cdot 1 = -8 < 0 :
d^2 Tdt^2 = -8 sin (2 cdot 3pi4) = -8 sin (3pi2) = -8 cdot (-1) = 8 > 0
Como a segunda derivada é negativa, d^2 Tdt^2 = -8 sin (2 cdot 5pi4) = -8 sin (5pi2) = -8 cdot 1 = -8 < 0 tem um máximo nesse ponto.
  1. Para d^2 Tdt^2 = -8 sin (2 cdot 7pi4) = -8 sin (7pi2) = -8 cdot (-1) = 8 > 0 :
Como a segunda derivada é positiva, tem um mínimo nesse ponto.
  1. Para :
Como a segunda derivada é negativa, tem um máximo nesse ponto.
  1. Para :
Como a segunda derivada é positiva, tem um mínimo nesse ponto.

Resposta

As temperaturas máxima e mínima na elipse ocorrem nos seguintes pontos:
  • Máximas em e
  • Mínimas em e

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