Seja
a temperatura no ponto
na elipse
e suponha que
$(a) Localize as temperaturas máxima e mínima na elipse examinando
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. Aqui, a gente tem uma função de temperatura
definida em um ponto
sobre a elipse dada por:
A gente também sabe que as derivadas parciais de
são:
A tarefa é encontrar as temperaturas máxima e mínima na elipse analisando
e
. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial e entender como calcular derivadas de funções parametrizadas.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar
em termos de
. Como
e
são funções de
, podemos escrever:
Para encontrar
, usamos a regra da cadeia:
Substituindo as derivadas parciais fornecidas:
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
a partir das equações paramétricas da elipse:
Substituindo esses valores na expressão de
:
Passo 4
Vamos substituir
e
pelas suas expressões em termos de
:
Simplificando:
Podemos factorar o 4:
Usei a identidade trigonométrica
.
Passo 5
Para encontrar os extremos de
, precisamos achar onde
:
Isso acontece quando:
Dentro do intervalo
, os valores de
são:
Passo 6
Agora, vamos analisar a segunda derivada
para determinar se cada ponto é máximo ou mínimo. Primeiro, derivamos
:
Avaliaremos
em cada valor de
encontrado.
Passo 7
Vamos verificar cada caso:
- Para
:
Como a segunda derivada é negativa,
tem um máximo nesse ponto.
- Para
:
Como a segunda derivada é positiva,
tem um mínimo nesse ponto.
- Para
:
Como a segunda derivada é negativa,
tem um máximo nesse ponto.
- Para
:
Como a segunda derivada é positiva,
tem um mínimo nesse ponto.
Resposta
As temperaturas máxima e mínima na elipse ocorrem nos seguintes pontos:
- Máximas em
e - Mínimas em
e