Encontre F(s) ou f(t).
l) L^-1s e^-pi s2s^2+4 m) L^-1s+1(s^2+2 s+2)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o item (m) que pede para encontrar a transformada inversa de Laplace de . Aqui, estamos usando a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática usada para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer algumas propriedades das transformadas e técnicas de decomposição de frações.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador s^2 + 2s + 2 = (s + 1)^2 + 1 . Notamos que s+1((s + 1)^2 + 1)^2 pode ser reescrito completando o quadrado:
Então, a expressão fica:

Passo 3

Agora, fazemos uma substituição para facilitar. Vamos definir (u - 1) + 1(u^2 + 1)^2 = u(u^2 + 1)^2 , então u(u^2 + 1)^2 . Substituindo na expressão:
Então, nossa expressão simplificada é:

Passo 4

Sabemos que a transformada inversa de L^-1u(u^2 + a^2)^2 = t sin(a t)2 a é dada por:
L^-1u(u^2 + 1)^2 = t sin(t)2
No nosso caso, , então:

Passo 5

Lembrando que fizemos a substituição L^-1F(s - a) = e^a t f(t) , precisamos agora considerar o deslocamento na transformada de Laplace. A propriedade de deslocamento nos diz que:
L^-1s+1(s^2+2 s+2)^2 = e^-t cdot t sin(t)2
No nosso caso, , então:

Resposta

f(t) = t , e^-t sin(t)2

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