Suponha
para todo
. Faça
onde
. Prove que
e
são ortogonais.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede. Temos um vetor
cuja magnitude, representada por
, nunca é zero para qualquer valor de
. A partir disso, definimos um vetor unitário
. O objetivo é provar que
e sua derivada em relação ao tempo
são vetores ortogonais, ou seja, que o produto interno entre eles é zero. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de derivadas de vetores e propriedades de vetores ortogonais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
em relação a
. Usaremos a regra do quociente para derivadas, que nos diz como derivar uma fração onde o numerador e o denominador são funções que dependem de
.
A derivada de
é:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 3
Agora, precisamos simplificar a expressão da derivada. Sabemos que
, então a derivada de
em relação a
pode ser escrita usando a definição de derivada de uma norma de vetor:
Substituindo essa expressão na derivada de
:
Simplificando:
Passo 4
Para mostrar que
e
são ortogonais, vamos calcular o produto interno entre eles:
Substituindo a expressão da derivada que encontramos:
Sabemos que
(já que
é um vetor unitário). Portanto:
Resposta
Portanto, mostramos que
e
são vetores ortogonais, já que o produto interno entre eles é zero.