Suponha ||v(t)|| != 0 para todo t. Faça T(t) = v(t) / v(t) onde v(t) = ||v(t)||. Prove que
T e d/T dt são ortogonais.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede. Temos um vetor vec(v)(t) cuja magnitude, representada por , nunca é zero para qualquer valor de t. A partir disso, definimos um vetor unitário . O objetivo é provar que T e sua derivada em relação ao tempo d/T dt são vetores ortogonais, ou seja, que o produto interno entre eles é zero. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de derivadas de vetores e propriedades de vetores ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de vec(T)(t) em relação a t. Usaremos a regra do quociente para derivadas, que nos diz como derivar uma fração onde o numerador e o denominador são funções que dependem de t.
A derivada de vec(T)(t) é:
Aplicando a regra do quociente:

Passo 3

Agora, precisamos simplificar a expressão da derivada. Sabemos que , então a derivada de v(t) em relação a t pode ser escrita usando a definição de derivada de uma norma de vetor:
Substituindo essa expressão na derivada de vec(T)(t):
Simplificando:

Passo 4

Para mostrar que vec(T)(t) e d/T dt são ortogonais, vamos calcular o produto interno entre eles:
Substituindo a expressão da derivada que encontramos:
Sabemos que (já que vec(T)(t) é um vetor unitário). Portanto:

Resposta

Portanto, mostramos que vec(T)(t) e d/T dt são vetores ortogonais, já que o produto interno entre eles é zero.

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