Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário.
a) y' + 4y = e^(-4t), y(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que diz:
com a condição inicial . Vamos usar a Transformada de Laplace para resolver isso. A Transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que ajuda a transformar equações diferenciais em equações algébricas mais fáceis de resolver. Vamos precisar lembrar de como transformar derivadas e funções exponenciais nessa transformada.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que:
e
onde é a Transformada de Laplace de . Aplicando isso na nossa equação:
Substituindo as transformadas:

Passo 3

Agora, vamos substituir a condição inicial na equação:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos resolver para :

Passo 5

Precisamos agora encontrar a Transformada de Laplace inversa de para obter . Sabemos que:
Aplicando isso com :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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