Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que diz:
com a condição inicial
. Vamos usar a Transformada de Laplace para resolver isso. A Transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que ajuda a transformar equações diferenciais em equações algébricas mais fáceis de resolver. Vamos precisar lembrar de como transformar derivadas e funções exponenciais nessa transformada.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que:
e
onde
é a Transformada de Laplace de
. Aplicando isso na nossa equação:
Substituindo as transformadas:
Passo 3
Agora, vamos substituir a condição inicial
na equação:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
:
Passo 5
Precisamos agora encontrar a Transformada de Laplace inversa de
para obter
. Sabemos que:
Aplicando isso com
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: