Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela da função . Para isso, vamos usar conceitos de Análise de Funções de Duas Variáveis, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Vamos calcular as derivadas parciais:
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos onde essas derivadas parciais são iguais a zero:
Para :
Para :
Então, o único ponto crítico é .

Passo 4

Para classificar o ponto crítico , usamos o Teste da Segunda Derivada. Precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
No ponto , temos:
Agora, calculamos o discriminante :

Passo 5

O valor do discriminante é menor que zero. Isso significa que o ponto crítico é um ponto de sela. Não há máximos ou mínimos relativos neste caso.

Resposta

A função possui um ponto de sela em . Não há máximos ou mínimos relativos.

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Utilize a regra da cadeia para determinar . .