Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela da função
. Para isso, vamos usar conceitos de Análise de Funções de Duas Variáveis, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Vamos calcular as derivadas parciais:
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos onde essas derivadas parciais são iguais a zero:
Para
:
Para
:
Então, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Para classificar o ponto crítico
, usamos o Teste da Segunda Derivada. Precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
No ponto
, temos:
Agora, calculamos o discriminante
:
Passo 5
O valor do discriminante
é menor que zero. Isso significa que o ponto crítico
é um ponto de sela. Não há máximos ou mínimos relativos neste caso.
Resposta
A função
possui um ponto de sela em
. Não há máximos ou mínimos relativos.
Exercícios relacionados
Encontre o gradiente de
no ponto indicado.
.
Encontre
em
.
.
Determine o diferencial da função:
.
Utilize a regra da cadeia para determinar
.
.