Encontre a
derivada de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a 50ª derivada de
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como derivar funções trigonométricas repetidamente e identificar um padrão nas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como derivar a função
. A derivada de
em relação a
é
, onde
e
.
Então, a primeira derivada é:
Passo 3
Agora, vamos derivar novamente para encontrar a segunda derivada:
Passo 4
Vamos continuar derivando para identificar o padrão. A terceira derivada será:
E a quarta derivada:
Passo 5
Observamos que as derivadas de
seguem um ciclo a cada 4 derivações:
-
-
-
-
-
(e assim por diante)
Esse padrão se repete a cada 4 derivações. Para encontrar a 50ª derivada, vamos ver em qual posição do ciclo ela cai.
Passo 6
Dividimos o índice da derivada pelo ciclo de 4:
Isso significa que a 50ª derivada está na mesma posição que a 2ª derivada do ciclo.
Resposta
Portanto, a 50ª derivada de
é:
Exercícios relacionados
O peso de uma astronauta,
(em newtons), está associado á sua altitude relativa à superficie da Terra,
(em quilômetros), por meio da equação
em que
é o peso da astronauta na superficie da Terra. Supondo que a astronauta pese 580 newtons na Terra e esteja a bordo de um foguete lançado na vertical e que viaja a uma velocidade de
, determine a taxa de variação de seu peso (
) quando ela está a 60 quilômetros da superfície da Terra.
Sabendo que a função
, satisfaz a equaçāo diferencial
e que
, calcule
.
Encontre
por derivação implícita.