Encontre a 50^a derivada de y = cos(2 x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a 50ª derivada de . Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como derivar funções trigonométricas repetidamente e identificar um padrão nas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como derivar a função . A derivada de em relação a é , onde e .
Então, a primeira derivada é:

Passo 3

Agora, vamos derivar novamente para encontrar a segunda derivada:

Passo 4

Vamos continuar derivando para identificar o padrão. A terceira derivada será:
E a quarta derivada:

Passo 5

Observamos que as derivadas de seguem um ciclo a cada 4 derivações:
  1. (e assim por diante)
Esse padrão se repete a cada 4 derivações. Para encontrar a 50ª derivada, vamos ver em qual posição do ciclo ela cai.

Passo 6

Dividimos o índice da derivada pelo ciclo de 4:
Isso significa que a 50ª derivada está na mesma posição que a 2ª derivada do ciclo.

Resposta

Portanto, a 50ª derivada de é:

Exercícios relacionados