Encontre a derivada de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a 50ª derivada de . Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como derivar funções trigonométricas repetidamente e identificar um padrão nas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como derivar a função . A derivada de em relação a é , onde e .
Então, a primeira derivada é:

Passo 3

Agora, vamos derivar novamente para encontrar a segunda derivada:

Passo 4

Vamos continuar derivando para identificar o padrão. A terceira derivada será:
E a quarta derivada:

Passo 5

Observamos que as derivadas de seguem um ciclo a cada 4 derivações:
  1. (e assim por diante)
Esse padrão se repete a cada 4 derivações. Para encontrar a 50ª derivada, vamos ver em qual posição do ciclo ela cai.

Passo 6

Dividimos o índice da derivada pelo ciclo de 4:
Isso significa que a 50ª derivada está na mesma posição que a 2ª derivada do ciclo.

Resposta

Portanto, a 50ª derivada de é:

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O peso de uma astronauta, (em newtons), está associado á sua altitude relativa à superficie da Terra, (em quilômetros), por meio da equação
em que é o peso da astronauta na superficie da Terra. Supondo que a astronauta pese 580 newtons na Terra e esteja a bordo de um foguete lançado na vertical e que viaja a uma velocidade de , determine a taxa de variação de seu peso ( ) quando ela está a 60 quilômetros da superfície da Terra.
Sabendo que a função , satisfaz a equaçāo diferencial e que , calcule .
Encontre por derivação implícita.