O peso de uma astronauta,
(em newtons), está associado á sua altitude relativa à superficie da Terra,
(em quilômetros), por meio da equação
em que
é o peso da astronauta na superficie da Terra. Supondo que a astronauta pese 580 newtons na Terra e esteja a bordo de um foguete lançado na vertical e que viaja a uma velocidade de
, determine a taxa de variação de seu peso (
) quando ela está a 60 quilômetros da superfície da Terra.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que fala sobre o peso de uma astronauta em relação à altura dela acima da Terra. A fórmula que relaciona o peso
com a altitude
é:
Aqui,
é o peso na superfície da Terra, que é 580 newtons. A astronauta está subindo em um foguete a uma velocidade de 19 km/s, e queremos descobrir quão rápido o peso dela está mudando quando ela está a 60 quilômetros de altura. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas para encontrar a taxa de variação do peso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que precisamos encontrar: a taxa de variação do peso
quando
km. Sabemos que:
Isso é a regra da cadeia, onde
é a derivada do peso em relação à altura, e
é a velocidade de subida do foguete.
Passo 3
Vamos calcular
. Começamos derivando a função do peso:
Aplicando a derivada:
Simplificando:
Passo 4
Agora, substituímos
km na expressão:
Calculando as potências e somando:
Então:
(Observação:
e
)
Passo 5
Agora, multiplicamos pela velocidade
km/s:
Fazendo as contas:
Resposta
A taxa de variação do peso da astronauta quando ela está a 60 quilômetros da superfície da Terra é aproximadamente
.
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Os engenheiros de produção de uma empresa estimam que um determinado poço produzirá gás natural a uma taxa dada por
milhares de metros cúbicos, onde
é o tempo desde o início da produção. Estime a quantidade total de gás natural que poderá ser extraída desse poço.
Encontre a
derivada de
.
Sabendo que a função
, satisfaz a equaçāo diferencial
e que
, calcule
.