O peso de uma astronauta, (em newtons), está associado á sua altitude relativa à superficie da Terra, (em quilômetros), por meio da equação
em que é o peso da astronauta na superficie da Terra. Supondo que a astronauta pese 580 newtons na Terra e esteja a bordo de um foguete lançado na vertical e que viaja a uma velocidade de , determine a taxa de variação de seu peso ( ) quando ela está a 60 quilômetros da superfície da Terra.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que fala sobre o peso de uma astronauta em relação à altura dela acima da Terra. A fórmula que relaciona o peso com a altitude é:
Aqui, é o peso na superfície da Terra, que é 580 newtons. A astronauta está subindo em um foguete a uma velocidade de 19 km/s, e queremos descobrir quão rápido o peso dela está mudando quando ela está a 60 quilômetros de altura. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas para encontrar a taxa de variação do peso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que precisamos encontrar: a taxa de variação do peso quando km. Sabemos que:
Isso é a regra da cadeia, onde é a derivada do peso em relação à altura, e é a velocidade de subida do foguete.

Passo 3

Vamos calcular . Começamos derivando a função do peso:
Aplicando a derivada:
Simplificando:

Passo 4

Agora, substituímos km na expressão:
Calculando as potências e somando:
Então:
(Observação: e )

Passo 5

Agora, multiplicamos pela velocidade km/s:
Fazendo as contas:

Resposta

A taxa de variação do peso da astronauta quando ela está a 60 quilômetros da superfície da Terra é aproximadamente .

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Encontre a derivada de .
Sabendo que a função , satisfaz a equaçāo diferencial e que , calcule .