Encontre a abertura efetiva de uma antena receptora monopolo de fio de quarto de onda, iluminada no espaço livre por uma onda eletromagnética plana uniforme de frequência , para direções de incidência da onda dadas por, e , respectivamente, assumindo que a antena é casada em impedância com sua carga e casada em polarização com sua onda incidente. Dado a diretividade como:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a abertura efetiva de uma antena monopolo de fio de quarto de onda que está recebendo uma onda eletromagnética de frequência . A onda chega de diferentes ângulos: , , e . Para isso, vamos usar conceitos de Diretividade e Abertura Efetiva de antenas. Precisaremos das fórmulas que relacionam essas grandezas e alguns cálculos com base na frequência dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Abertura Efetiva ( ). Ela mede quão bem uma antena consegue captar a energia de uma onda eletromagnética. A fórmula que relaciona a abertura efetiva com a diretividade ( ) e o comprimento de onda ( ) é:
Então, precisamos calcular o comprimento de onda e usar a diretividade fornecida para cada ângulo de incidência .

Passo 3

Vamos calcular o comprimento de onda . Sabemos que está relacionado à frequência pela fórmula:
Onde é a velocidade da luz no vácuo, aproximadamente . Com , temos:

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula da abertura efetiva:
Já calculamos , então:
Essa constante será usada para todos os ângulos de incidência.

Passo 5

Agora, vamos calcular a Diretividade para cada ângulo de incidência usando a fórmula dada:
Vamos calcular para cada :

Passo 6

Vamos calcular para :
Primeiro, calculamos , então:
Mas , o que nos dá uma divis��o por zero, indicando que a diretividade tende ao infinito nesse ângulo. Isso significa que a antena não consegue receber energia quando a onda está chegando exatamente ao longo do eixo da antena. Portanto, para , a abertura efetiva é efetivamente zero.

Passo 7

Agora, para :
Calculamos e .
Substituindo na fórmula:
Calculando o argumento do cosseno:
Então:
Elevando ao quadrado:
Agora, calculamos :

Passo 8

Para calcular a Abertura Efetiva em :

Passo 9

Agora, para :
Calculamos e .
Substituindo na fórmula:
Calculando o argumento do cosseno:
Então:
Elevando ao quadrado:
Agora, calculamos :

Passo 10

Para a Abertura Efetiva em :

Passo 11

Finalmente, para :
Calculamos e .
Substituindo na fórmula:

Resposta

As aberturas efetivas da antena para cada ângulo de incidência são:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

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para
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