Encontre a abertura efetiva (Ae f) de uma antena receptora monopolo de fio de quarto de onda, iluminada no espaço livre por uma onda eletromagnética plana uniforme de frequência f=1 GHz, para direções de incidência da onda dadas por, thetai 1=0, thetai 2=30^circ, thetai 3=60^circ e thetai 4=90^circ, respectivamente, assumindo que a antena é casada em impedância com sua carga e casada em polarização com sua onda incidente. Dado a diretividade como:
D(theta)=3.29 cos ^2(pi2 cos theta)sin ^2 theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a abertura efetiva (Aef) de uma antena monopolo de fio de quarto de onda que está recebendo uma onda eletromagnética de frequência f = 1 GHz. A onda chega de diferentes ângulos: 0^circ, 30^circ, 60^circ e 90^circ. Para isso, vamos usar conceitos de Diretividade e Abertura Efetiva de antenas. Precisaremos das fórmulas que relacionam essas grandezas e alguns cálculos com base na frequência dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Abertura Efetiva ( Aef). Ela mede quão bem uma antena consegue captar a energia de uma onda eletromagnética. A fórmula que relaciona a abertura efetiva com a diretividade ( D) e o comprimento de onda ( lambda) é:
Aef = lambda^24pi D(theta)
Então, precisamos calcular o comprimento de onda lambda e usar a diretividade fornecida para cada ângulo de incidência theta.

Passo 3

Vamos calcular o comprimento de onda lambda. Sabemos que lambda está relacionado à frequência f pela fórmula:
lambda = cf
Onde c é a velocidade da luz no vácuo, aproximadamente 3 times 10^8 m/s. Com f = 1 GHz = 1 times 10^9 Hz, temos:
lambda = 3 times 10^8 m/s1 times 10^9 Hz = 0,3 m

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula da abertura efetiva:
Aef = lambda^24pi D(theta)
Já calculamos lambda = 0,3 m, então:
lambda^24pi = (0,3)^24pi = 0,0912,566 approx 0,00716 m^2
Essa constante será usada para todos os ângulos de incidência.

Passo 5

Agora, vamos calcular a Diretividade D(theta) para cada ângulo de incidência usando a fórmula dada:
D(theta) = 3,29 cos^2(pi2 cos theta)sin^2 theta
Vamos calcular para cada thetai:
  1. thetai1 = 0^circ
  2. thetai2 = 30^circ
  3. thetai3 = 60^circ
  4. thetai4 = 90^circ

Passo 6

Vamos calcular D(theta) para thetai1 = 0^circ:
Primeiro, calculamos cos(0^circ) = 1, então:
D(0^circ) = 3,29 cos^2(pi2 times 1)sin^2 0^circ
Mas sin(0^circ) = 0, o que nos dá uma divis��o por zero, indicando que a diretividade tende ao infinito nesse ângulo. Isso significa que a antena não consegue receber energia quando a onda está chegando exatamente ao longo do eixo da antena. Portanto, para thetai1 = 0^circ, a abertura efetiva é efetivamente zero.

Passo 7

Agora, para thetai2 = 30^circ:
Calculamos cos(30^circ) = raiz3/2 approx 0,866 e sin(30^circ) = 1/2 = 0,5.
Substituindo na fórmula:
D(30^circ) = 3,29 cos^2(pi2 times 0,866)(0,5)^2
Calculando o argumento do cosseno:
pi2 times 0,866 approx 1,36 radianos
Então:
cos(1,36) approx 0,206
Elevando ao quadrado:
0,206^2 approx 0,0424
Agora, calculamos D(30^circ):
D(30^circ) = 3,29 times 0,04240,25 = 3,29 times 0,1696 approx 0,559

Passo 8

Para calcular a Abertura Efetiva em 30^circ:
Aef(30^circ) = 0,00716 times 0,559 approx 0,004 m^2

Passo 9

Agora, para thetai3 = 60^circ:
Calculamos cos(60^circ) = 0,5 e sin(60^circ) = raiz3/2 approx 0,866.
Substituindo na fórmula:
D(60^circ) = 3,29 cos^2(pi2 times 0,5)(0,866)^2
Calculando o argumento do cosseno:
pi2 times 0,5 = pi4 approx 0,785 radianos
Então:
cos(0,785) approx 0,707
Elevando ao quadrado:
0,707^2 approx 0,5
Agora, calculamos D(60^circ):
D(60^circ) = 3,29 times 0,50,75 approx 3,29 times 0,6667 approx 2,193

Passo 10

Para a Abertura Efetiva em 60^circ:
Aef(60^circ) = 0,00716 times 2,193 approx 0,0157 m^2

Passo 11

Finalmente, para thetai4 = 90^circ:
Calculamos cos(90^circ) = 0 e sin(90^circ) = 1.
Substituindo na fórmula:
D(90^circ) = 3,29 cos^2(pi2 times 0)1^2 = 3,29 times cos^2(0)1 = 3,29 times 1 = 3,29

Resposta

As aberturas efetivas (Aef) da antena para cada ângulo de incidência são:
  • Para thetai1 = 0^circ: Aef = 0 m^2
  • Para thetai2 = 30^circ: Aef approx 0,004 m^2
  • Para thetai3 = 60^circ: Aef approx 0,0157 m^2
  • Para thetai4 = 90^circ: Aef approx 0,00716 times 3,29 approx 0,0236 m^2

Exercícios relacionados