Um túnel é modelado como um guia de onda retangular metálico, preenchido com ar, com dimensões de a=8 m e b=16 m. Determine se o túnel transmite: (a) um sinal de radiodifusão em AM de 1,5 MHz ; (b) um sinal de radiodifusão em FM de 120 MHz :

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um túnel que funciona como um guia de ondas retangular metálico, com dimensões de 8 metros de largura ( a = 8 , m) e 16 metros de altura ( b = 16 , m). Nosso objetivo é descobrir se esse túnel consegue transmitir dois tipos de sinais de radiodifusão: um sinal AM de 1,5 MHz e um sinal FM de 120 MHz.
Conteúdo da matéria: Guias de ondas e frequências de corte.
O que precisamos: A fórmula para calcular a frequência de corte de um guia de ondas retangular e comparar com as frequências dos sinais para ver se eles são transmitidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a frequência de corte. Em um guia de ondas, a frequência de corte ( fc) é a menor frequência que consegue se propagar pelo túnel. Se a frequência do sinal for maior que fc, o sinal passa; se for menor, ele não passa.
A fórmula para calcular a frequência de corte em um guia de ondas retangular é:
fc = c2 raiz(ma)^2 + (nb)^2
Onde:
  • c é a velocidade da luz no vácuo ( approx 3 times 10^8 , m/s),
  • a e b são as dimensões do guia de ondas,
  • m e n são inteiros que representam os modos de propagação (geralmente começamos com m=1 e n=1 para o modo mais básico).

Passo 3

Vamos calcular a frequência de corte para o modo fundamental ( m=1, n=1):
fc = 3 times 10^82 raiz(18)^2 + (116)^2
Primeiro, calculamos as frações dentro da raiz:
(18)^2 = 164 approx 0,015625
(116)^2 = 1256 approx 0,00390625
Somando esses valores:
0,015625 + 0,00390625 = 0,01953125
Agora, tiramos a raiz quadrada:
raiz0,01953125 approx 0,139
Multiplicando pelos outros números:
fc = 3 times 10^82 times 0,139 approx 2,085 times 10^7 , Hz = 20,85 , MHz

Passo 4

Agora que sabemos que a frequência de corte é aproximadamente 20,85 MHz, vamos comparar com as frequências dos sinais que queremos transmitir:
a) Sinal AM de 1,5 MHz: 1,5 MHz é menor que 20,85 MHz. Então, esse sinal não será transmitido pelo túnel, pois está abaixo da frequência de corte.
b) Sinal FM de 120 MHz: 120 MHz é maior que 20,85 MHz. Portanto, esse sinal será transmitido pelo túnel, já que está acima da frequência de corte.

Resposta

a) O sinal de radiodifusão em AM de 1,5 MHz não será transmitido pelo túnel.
b) O sinal de radiodifusão em FM de 120 MHz será transmitido pelo túnel.

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