O padrão de campo normalizado de uma antena é dado por
para
, e é zero em outros lugares. Encontre a diretividade da antena.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre antenas, mais especificamente sobre o padrão de radiação e a diretividade da antena. O enunciado nos dá uma função que descreve como a antena irradia energia em diferentes direções, chamada de padrão de campo normalizado:
para os ângulos
e
. Fora desses intervalos, a função é zero. Nosso objetivo é encontrar a diretividade dessa antena, que basicamente nos diz o quão “focada” é a radiação da antena em comparação com uma antena isotrópica (que irradia igualmente em todas as direções).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é diretividade. A diretividade
é uma medida que compara a potência irradiada por uma antena na direção de máxima radiação com a potência irradiada por uma antena isotrópica que irradia igualmente em todas as direções. A fórmula para diretividade é:
Onde:
-
é o valor máximo da função padrão de radiação. - A integral no denominador é a área total sob o padrão de radiação, que representa a potência total irradiada pela antena.
Passo 3
Vamos identificar
. Observando a função
, o valor máximo ocorre quando
e
são máximos.
Sabemos que:
-
atinge seu máximo quando , com valor 1. -
atinge seu máximo quando , com valor 1.
Portanto,
.
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral no denominador para encontrar a área total sob o padrão de radiação. A integral fica:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Primeiro, convertemos os graus para radianos, já que as integrais em trigonometria geralmente utilizam radianos:
-
rad -
rad
Então, a integral fica:
Vamos separar as integrais em
e
:
Calculando a integral em
:
Usando a identidade de integração para potências ímpares de seno:
Aplicando isso para
:
Calculando a integral em
:
Usamos a identidade:
Então,
Multiplicando as integrais:
Passo 5
Agora que temos todos os valores, vamos substituir na f��rmula da diretividade:
Resposta
A diretividade da antena é 6.