O padrão de campo normalizado de uma antena é dado por f(theta, phi)= sin ^2 theta, cos ^2 phi para 0 <= theta <= 180^circ e-90^circ <= phi <= 90^circ, e é zero em outros lugares. Encontre a diretividade da antena.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre antenas, mais especificamente sobre o padrão de radiação e a diretividade da antena. O enunciado nos dá uma função que descreve como a antena irradia energia em diferentes direções, chamada de padrão de campo normalizado:
f(theta, phi) = sin^2 theta cos^2 phi
para os ângulos e . Fora desses intervalos, a função é zero. Nosso objetivo é encontrar a diretividade dessa antena, que basicamente nos diz o quão “focada” é a radiação da antena em comparação com uma antena isotrópica (que irradia igualmente em todas as direções).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é diretividade. A diretividade D = 4pi cdot fmaxintegral0^2pi integral0^pi f(theta, phi) sin theta , dtheta , dphi é uma medida que compara a potência irradiada por uma antena na direção de máxima radiação com a potência irradiada por uma antena isotrópica que irradia igualmente em todas as direções. A fórmula para diretividade é:
Onde:
  • é o valor máximo da função padrão de radiação.
  • A integral no denominador é a área total sob o padrão de radiação, que representa a potência total irradiada pela antena.

Passo 3

Vamos identificar . Observando a função , o valor máximo ocorre quando e são máximos.
Sabemos que:
  • atinge seu máximo quando , com valor 1.
  • atinge seu máximo quando , com valor 1.
Portanto, .

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral no denominador para encontrar a área total sob o padrão de radiação. A integral fica:
integral-90^circ^90^circ integral0^180^circ sin^2 theta cos^2 phi sin theta , dtheta , dphi
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Primeiro, convertemos os graus para radianos, já que as integrais em trigonometria geralmente utilizam radianos:
  • integral-pi2^pi2 integral0^pi sin^2 theta cos^2 phi sin theta , dtheta , dphi rad
  • ( integral0^pi sin^3 theta , dtheta ) cdot ( integral-pi2^pi2 cos^2 phi , dphi ) rad
Então, a integral fica:
integral0^pi sin^3 theta , dtheta
Vamos separar as integrais em integral sin^n x , dx = -sin^n-1 x cos xn + n-1n integral sin^n-2 x , dx e integral0^pi sin^3 theta , dtheta = 43 :
integral-pi2^pi2 cos^2 phi , dphi
Calculando a integral em cos^2 phi = 1 + cos 2phi2 :
integral-pi2^pi2 1 + cos 2phi2 , dphi = 12 [ phi + sin 2phi2 ]-pi2^pi2 = pi2
Usando a identidade de integração para potências ímpares de seno:
43 cdot pi2 = 2pi3
Aplicando isso para :
Calculando a integral em :
Usamos a identidade:
Então,
Multiplicando as integrais:

Passo 5

Agora que temos todos os valores, vamos substituir na f��rmula da diretividade:
D = 4pi cdot 12pi3 = 4pi2pi3 = 6

Resposta

A diretividade da antena é 6.

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