Encontre [A]beta, onde A=(ll1 & 2 3 & 4) e beta=(ll1 & 0 0 & 0),(ll1 & 1 0 & 0),(ll1 & 1 1 & 0),(ll1 & 1 1 & 1) é uma base de M2(R).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a matriz [A]beta, onde A é uma matriz 2 times 2 e beta é uma base do espaço das matrizes 2 times 2 com entradas reais, M2(R). Para isso, vamos precisar entender como expressar a matriz A como uma combinação linear dos vetores da base beta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Em termos simples, uma base é um conjunto de vetores (ou matrizes, no nosso caso) que são suficientes para gerar qualquer outro vetor (ou matriz) do espaço através de combinações lineares. Aqui, a base beta é composta por quatro matrizes:
beta = 1 & 0 0 & 0, 1 & 1 0 & 0, 1 & 1 1 & 0, 1 & 1 1 & 1

Passo 3

Nosso objetivo é escrever a matriz A = 1 & 2 3 & 4 como uma combinação linear dessas quatro matrizes da base beta. Ou seja, queremos encontrar escalares c1, c2, c3, c4 tais que:
A = c1 1 & 0 0 & 0 + c2 1 & 1 0 & 0 + c3 1 & 1 1 & 0 + c4 1 & 1 1 & 1

Passo 4

Vamos calcular essa combinação linear passo a passo:
c1 1 & 0 0 & 0 = c1 & 0 0 & 0
c2 1 & 1 0 & 0 = c2 & c2 0 & 0
c3 1 & 1 1 & 0 = c3 & c3 c3 & 0
c4 1 & 1 1 & 1 = c4 & c4 c4 & c4
Somando todas essas matrizes:
c1 + c2 + c3 + c4 & 0 + c2 + c3 + c4 0 + 0 + c3 + c4 & 0 + 0 + 0 + c4 = 1 & 2 3 & 4

Passo 5

Agora, igualamos os elementos correspondentes das matrizes para formar um sistema de equações:
c1 + c2 + c3 + c4 = 1 c2 + c3 + c4 = 2 c3 + c4 = 3 c4 = 4

Passo 6

Começamos resolvendo de baixo para cima:
  1. Da quarta equação, já sabemos que c4 = 4.
  2. Substituindo c4 na terceira equação:
c3 + 4 = 3 Rightarrow c3 = -1
  1. Substituindo c3 e c4 na segunda equação:
c2 + (-1) + 4 = 2 Rightarrow c2 + 3 = 2 Rightarrow c2 = -1
  1. Finalmente, substituindo c2, c3 e c4 na primeira equação:
c1 + (-1) + (-1) + 4 = 1 Rightarrow c1 + 2 = 1 Rightarrow c1 = -1

Resposta

Assim, os coeficientes encontrados são c1 = -1, c2 = -1, c3 = -1 e c4 = 4. Portanto, a matriz [A]beta é:
[A]beta = -1 -1 -1 4

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