Sejam W o subespaço vetorial de P3(R) gerado por
B=-5+t-2 t^2+t^3, 1+2 t-t^2-2 t^3
e a transformação linear T: W P2(R), definida por
T(p(t))=2 p^prime(t)+p(0)(t-1)
Suponha que C seja uma base de P2(R) tal que
[T]B, C=[rr 1 & 2 4 & 1 -1 & 4 ]
Calcule [T(p)]C, para [p]B=[r2 -1].

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um subespaço vetorial de polinômios de grau no máximo 3, gerado por duas funções. Também temos uma transformação linear que leva esses polinômios para polinômios de grau no máximo 2. A transformação é definida por uma fórmula específica. Além disso, sabemos como se comporta em relação a certas bases. Nosso objetivo é calcular a representação do polinômio transformado na base , dado que conhecemos as coordenadas de na base .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Esse é o matriz de transformação de que transforma coordenadas de para . Ou seja, ele nos diz como age nos vetores da base e como representá-los na base .

Passo 3

A matriz de transformação [rr 1 & 2 4 & 1 -1 & 4 ] é dada por:
Isso significa que se tivermos um vetor com coordenadas na base , podemos encontrar multiplicando essa matriz pelo vetor .

Passo 4

Nos foi dado que r2 -1. Para encontrar [T(p)]C = [rr 1 & 2 4 & 1 -1 & 4 ] times [r2 -1] , precisamos multiplicar a matriz por esse vetor:

Passo 5

Vamos fazer a multiplicação das matrizes passo a passo. Multiplicamos cada linha da matriz pela coluna do vetor:
  1. Primeira linha:
1 times 2 + 2 times (-1) = 2 - 2 = 0
  1. Segunda linha:
4 times 2 + 1 times (-1) = 8 - 1 = 7
  1. Terceira linha:
-1 times 2 + 4 times (-1) = -2 - 4 = -6

Resposta

Portanto, a representação de [T(p)]C = [r0 7 -6] na base é:

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Sejam beta1=(1,0),(0,2), beta2=(-1,0),(1,1) beta3=(-1,1),(0,-1), três bases ordenadas do R^2. Ache:
a) [I]beta1^beta2
b) [I]beta2^beta3
c) [I]beta1^beta3
d) [I]beta1^beta2 cdot[I]beta2^beta3.
Seja a x+b y+c z+d=0 a equação de um plano pi que não passa pela origem e corta os três eixos.
Determine a equação do plano que passa pelos pontos A=(1,0,0), B=(0,2,0) e C=(0,0,3).
Determine todos os valores de lambda para os quais det(A-lambda In)=0, em que:
a) A=[lll0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0]
b) A=[ccc1 & 0 & 0 -1 & 3 & 0 3 & 2 & -1]
c) A=[ccc2 & -2 & 3 0 & 3 & -2 0 & -1 & 2]
d) A=[ccc2 & 2 & 3 1 & 2 & 1 2 & -2 & 1]
Encontre [A]beta, onde A=(ll1 & 2 3 & 4) e beta=(ll1 & 0 0 & 0),(ll1 & 1 0 & 0),(ll1 & 1 1 & 0),(ll1 & 1 1 & 1) é uma base de M2(R).