Encontre o ângulo entre a diagonal de um cubo e a diagonal em uma de suas faces.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrarmos o ângulo entre uma diagonal de um cubo e a diagonal de uma das suas faces. Isso envolve um pouco de geometria espacial e trigonometria. Vamos precisar entender como calcular vetores e usar a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar um cubo com aresta de comprimento igual a 1 unidade para facilitar os cálculos. Vamos considerar um dos vértices como a origem do sistema de coordenadas, ou seja, o ponto (0, 0, 0).

Passo 3

Agora, vamos identificar a diagonal do cubo. A diagonal do cubo vai do ponto (0, 0, 0) até o ponto oposto, que seria (1, 1, 1). Esse é o nosso vetor da diagonal do cubo: D = (1, 1, 1).

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar a diagonal de uma das faces do cubo. Por exemplo, a face que fica no plano xy. A diagonal dessa face vai do ponto (0, 0, 0) até o ponto (1, 1, 0). Então, o vetor dessa diagonal da face é: d = (1, 1, 0).

Passo 5

Para encontrar o ângulo entre os dois vetores, vamos usar a fórmula do produto escalar:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores,
  • e são os módulos (comprimentos) dos vetores,
  • é o ângulo entre eles.

Passo 6

Calculando o produto escalar:

Passo 7

Calculando os módulos dos vetores:

Passo 8

Agora, substituímos esses valores na fórmula do produto escalar:

Passo 9

Isolando :

Passo 10

Finalmente, para encontrar o ângulo , usamos a função arco cosseno:

Resposta

O ângulo entre a diagonal do cubo e a diagonal de uma de suas faces é aproximadamente 35,26 graus.

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