Encontre o ângulo formado entre os seguintes vetores:
u=(0,0,1) e v=(0,2,2)

Passo 1

Vamos entender o problema. Precisamos encontrar o ângulo formado entre os vetores e . Para isso, vamos usar o conceito de produto escalar entre vetores e a fórmula que relaciona o produto escalar com o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar dos vetores u cdot v = ux vx + uy vy + uz vz e u cdot v = 0 times 0 + 0 times 2 + 1 times 2 = 0 + 0 + 2 = 2 . O produto escalar de dois vetores e é dado por:
Para os nossos vetores:

Passo 3

Em seguida, precisamos calcular o módulo de cada vetor. O módulo de um vetor |u| = raizux^2 + uy^2 + uz^2 é:
|u| = raiz0^2 + 0^2 + 1^2 = raiz0 + 0 + 1 = 1
Para |v| = raiz0^2 + 2^2 + 2^2 = raiz0 + 4 + 4 = raiz8 = 2raiz2 :
E para :

Passo 4

Agora vamos usar a fórmula que relaciona o produto escalar com o ângulo u cdot v = |u| cdot |v| cdot costheta entre os vetores:
costheta = u cdot v|u| cdot |v|
Então, podemos isolar costheta = 21 times 2raiz2 = 22raiz2 = 1raiz2 :
Substituindo os valores que calculamos:

Passo 5

Finalmente, para encontrar o ângulo theta = arccos(1raiz2) approx 45^circ , vamos calcular o arco cosseno de :

Resposta

O ângulo entre os vetores e é aproximadamente .

Exercícios relacionados