Encontre o ângulo formado entre os seguintes vetores:
u=(2,-1,1) e v=(1,1,2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão solicita que encontremos o ângulo formado entre dois vetores no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar usar o conceito de produto escalar (também conhecido como produto interno) e a fórmula que relaciona o produto escalar com os módulos dos vetores e o cosseno do ângulo entre eles.

Passo 2

Vamos começar calculando o produto escalar dos vetores u e v. O produto escalar é dado pela soma das multiplicações das respectivas componentes dos vetores.
u cdot v = (2)(1) + (-1)(1) + (1)(2) = 2 - 1 + 2 = 3

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os módulos (ou normas) de cada vetor. O módulo de um vetor a = (a₁, a₂, a₃) é calculado usando a fórmula:
|a| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2
Vamos calcular o módulo de u:
|u| = raiz2^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6
E o módulo de v:
|v| = raiz1^2 + 1^2 + 2^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6

Passo 4

Com o produto escalar e os módulos dos vetores, podemos usar a fórmula que relaciona tudo isso ao ângulo θ entre os vetores:
cos(theta) = u cdot v|u| |v|
Substituindo os valores que encontramos:
cos(theta) = 3raiz6 times raiz6 = 36 = 0,5

Resposta

Portanto, o ângulo entre os vetores u e v é:
theta = arccos(0,5) = 60^circ

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