Para a equação x^2-y^2+z^2=k, onde k é uma constante real, determine o tipo de cônica ou superfície representada para diferentes valores de k ^* *

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou a equação , onde é uma constante real. Nosso objetivo é descobrir que tipo de cônica ou superfície essa equação representa, dependendo dos diferentes valores de . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre superfícies quadráticas e analisar a equação para diferentes valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma superfície quadrática é uma superfície no espaço tridimensional definida por uma equação de segundo grau nas variáveis , e . Dependendo dos coeficientes e dos sinais das variáveis na equação, podemos ter diferentes tipos de superfícies, como esferas, paraboloides, cones e hiperbôides.

Passo 3

Vamos analisar a equação para diferentes valores de :
  1. Quando :
    • A equação fica .
    • Aqui, temos a soma de e menos , o que sugere uma hiperboloide de uma folha. Essa superfície se parece com uma espécie de “fogo de artifício” simétrico ao redor do eixo .
  2. Quando :
    • A equação se torna .
    • Isso representa um cone duplo. Imagine dois cones iguais, um voltado para cima e outro para baixo, com a ponta no ponto de origem.
  3. Quando :
    • Agora, a equação é .
    • Nesse caso, a equação não tem soluções reais, porque a soma de números quadrados ( e ) nunca será negativa. Portanto, não há nenhuma superfície real que satisfaça essa equação para .

Resposta

Para a equação :
  • Se , representa um hiperboloide de uma folha.
  • Se , representa um cone duplo.
  • Se , não há solução real; portanto, não existe uma superfície correspondente.

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