Para a equação
, onde
é uma constante real, determine o tipo de cônica ou superfície representada para diferentes valores de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou a equação
, onde
é uma constante real. Nosso objetivo é descobrir que tipo de cônica ou superfície essa equação representa, dependendo dos diferentes valores de
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre superfícies quadráticas e analisar a equação para diferentes valores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma superfície quadrática é uma superfície no espaço tridimensional definida por uma equação de segundo grau nas variáveis
,
e
. Dependendo dos coeficientes e dos sinais das variáveis na equação, podemos ter diferentes tipos de superfícies, como esferas, paraboloides, cones e hiperbôides.
Passo 3
Vamos analisar a equação
para diferentes valores de
:
-
Quando
: - A equação fica
. - Aqui, temos a soma de
e menos , o que sugere uma hiperboloide de uma folha. Essa superfície se parece com uma espécie de “fogo de artifício” simétrico ao redor do eixo .
- A equação fica
-
Quando
: - A equação se torna
. - Isso representa um cone duplo. Imagine dois cones iguais, um voltado para cima e outro para baixo, com a ponta no ponto de origem.
- A equação se torna
-
Quando
: - Agora, a equação é
. - Nesse caso, a equação não tem soluções reais, porque a soma de números quadrados (
e ) nunca será negativa. Portanto, não há nenhuma superfície real que satisfaça essa equação para .
- Agora, a equação é
Resposta
Para a equação
:
- Se
, representa um hiperboloide de uma folha. - Se
, representa um cone duplo. - Se
, não há solução real; portanto, não existe uma superfície correspondente.