Encontre o ângulo formado entre os seguintes vetores:
v=(1,1,2) e z=(2,-1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o ângulo entre dois vetores no espaço. O conteúdo aqui é de Geometria Analítica, especificamente sobre produtos escalares. Para isso, vamos precisar entender como usar o produto escalar para encontrar o ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula que relaciona o produto escalar dos vetores com o ângulo entre eles. A fórmula é:
v cdot z = |v| times |z| times cos(theta)
Onde:
  • v cdot z é o produto escalar dos vetores v e z.
  • |v| e |z| são os comprimentos (módulos) dos vetores.
  • theta é o ângulo entre os vetores.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar v cdot z. Multiplicamos componente por componente e somamos:
v cdot z = (1)(2) + (1)(-1) + (2)(1) = 2 - 1 + 2 = 3

Passo 4

Agora, precisamos calcular os comprimentos dos vetores v e z. A fórmula para o módulo de um vetor a = (a1, a2, a3) é:
|a| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2
Para v = (1,1,2):
|v| = raiz1^2 + 1^2 + 2^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6
Para z = (2,-1,1):
|z| = raiz2^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6

Passo 5

Agora que temos o produto escalar e os módulos dos vetores, vamos usar a fórmula do produto escalar para encontrar o cosseno do ângulo:
cos(theta) = v cdot z|v| times |z| = 3raiz6 times raiz6 = 36 = 0,5

Passo 6

Para encontrar o ângulo theta, vamos aplicar a função arco cosseno (ou cosseno inverso):
theta = arccos(0,5)
Sabemos que arccos(0,5) = 60^circ.

Resposta

O ângulo formado entre os vetores v e z é de 60 graus.

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