Encontre o ângulo formado entre os seguintes vetores:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o ângulo entre dois vetores no espaço. O conteúdo aqui é de Geometria Analítica, especificamente sobre produtos escalares. Para isso, vamos precisar entender como usar o produto escalar para encontrar o ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula que relaciona o produto escalar dos vetores com o ângulo entre eles. A fórmula é:
Onde:
-
é o produto escalar dos vetores e . -
e são os comprimentos (módulos) dos vetores. -
é o ângulo entre os vetores.
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar
. Multiplicamos componente por componente e somamos:
Passo 4
Agora, precisamos calcular os comprimentos dos vetores
e
. A fórmula para o módulo de um vetor
é:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora que temos o produto escalar e os módulos dos vetores, vamos usar a fórmula do produto escalar para encontrar o cosseno do ângulo:
Passo 6
Para encontrar o ângulo
, vamos aplicar a função arco cosseno (ou cosseno inverso):
Sabemos que
.
Resposta
O ângulo formado entre os vetores
e
é de 60 graus.