Seja L=(cccos theta & sin theta -sin theta & cos theta) :
(b) Encontre a forma mais simples para a matriz L^3.

Passo 1

Vamos ver o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz L = cos theta & sin theta -sin theta & cos theta definida por
Aqui, estamos lidando com álgebra linear, mais especificamente com matrizes de rotação. Precisamos encontrar a forma mais simples para , ou seja, multiplicar a matriz por ela mesma três vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz de rotação como L^3 = cos (3theta) & sin (3theta) -sin (3theta) & cos (3theta) representa uma rotação no plano em um ângulo . Uma propriedade útil dessas matrizes é que elevar a matriz a uma potência equivale a multiplicar o ângulo de rotação por .
Então, para encontrar , podemos simplesmente multiplicar o ângulo por 3:
Isso simplifica muito o cálculo, pois evitamos multiplicar a matriz três vezes manualmente.

Resposta

A forma mais simples para L^3 = cos (3theta) & sin (3theta) -sin (3theta) & cos (3theta) é

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