Encontre o ângulo entre os planos:
Pi1: x+2 y+z-10=0 e Pi2:lx=2 alpha-beta+1 y=2 alpha+beta-1 z=alpha, alpha, beta in R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o ângulo entre dois planos. O conteúdo que vamos usar aqui é de Geometria Analítica, especificamente sobre planos no espaço e como calcular o ângulo entre eles. Para isso, vamos precisar identificar os vetores normais de cada plano e depois usar a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo entre esses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor normal do primeiro plano, x + 2y + z - 10 = 0 . A equação do plano n1 = lang<= 1, 2, 1 rang<= é dada por:
Os coeficientes de , e nessa equação nos dão diretamente o vetor normal. Então, o vetor normal de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor normal do segundo plano, x = 2alpha - beta + 1 y = 2alpha + beta - 1 z = alpha , alpha, beta in R . A parametrização de x = 2(1) - 0 + 1 = 3 y = 2(1) + 0 - 1 = 1 z = 1 é:
x = 2(0) - 1 + 1 = 0 y = 2(0) + 1 - 1 = 0 z = 0
Primeiro, identificamos dois vetores diretores desse plano tomando valores diferentes para u = A - B = lang<= 3, 1, 1 rang<= v = lang<= partial xpartial alpha, partial ypartial alpha, partial zpartial alpha rang<= = lang<= 2, 2, 1 rang<= e n2 = u times v = i & j & k 3 & 1 & 1 2 & 2 & 1 .
3a. Encontrando os vetores diretores
Vamos fixar n2 = i(1 cdot 1 - 1 cdot 2) - j(3 cdot 1 - 1 cdot 2) + k(3 cdot 2 - 1 cdot 2) n2 = i(-1) - j(1) + k(4) n2 = lang<= -1, -1, 4 rang<= e deixar variar para encontrar um vetor diretor, e depois fixar e deixar variar para encontrar outro vetor diretor.
  • Para :
Ponto
  • Para :
Ponto
Agora, os vetores diretores e podem ser encontrados pela diferença entre esses pontos:
3b. Calculando o vetor normal através do produto vetorial
Para encontrar o vetor normal do plano , calculamos o produto vetorial entre e :
Calculando o determinante:

Passo 4

Agora que temos os vetores normais dos dois planos, n1 cdot n2 = |n1| cdot |n2| cdot cos(theta) e n1 cdot n2 = (1)(-1) + (2)(-1) + (1)(4) = -1 -2 +4 = 1 , vamos usar a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo |n1| = raiz1^2 + 2^2 + 1^2 = raiz1 + 4 +1 = raiz6 |n2| = raiz(-1)^2 + (-1)^2 + 4^2 = raiz1 +1 +16 = raiz18 = 3raiz2 entre eles:
1 = raiz6 cdot 3raiz2 cdot cos(theta) 1 = 3raiz12 cdot cos(theta) cos(theta) = 13raiz12 = 16raiz3 cos(theta) = raiz318
Primeiro, calculamos o produto escalar:
Agora, calculamos as normas dos vetores:
Substituindo na fórmula:

Resposta

O ângulo entre os planos e é aproximadamente .

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