Encontre o ângulo entre os planos:
e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o ângulo entre dois planos. O conteúdo que vamos usar aqui é de Geometria Analítica, especificamente sobre planos no espaço e como calcular o ângulo entre eles. Para isso, vamos precisar identificar os vetores normais de cada plano e depois usar a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo entre esses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor normal do primeiro plano, . A equação do plano é dada por:
Os coeficientes de , e nessa equação nos dão diretamente o vetor normal. Então, o vetor normal de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor normal do segundo plano, . A parametrização de é:
Primeiro, identificamos dois vetores diretores desse plano tomando valores diferentes para e .
3a. Encontrando os vetores diretores
Vamos fixar e deixar variar para encontrar um vetor diretor, e depois fixar e deixar variar para encontrar outro vetor diretor.
  • Para :
Ponto
  • Para :
Ponto
Agora, os vetores diretores e podem ser encontrados pela diferença entre esses pontos:
3b. Calculando o vetor normal através do produto vetorial
Para encontrar o vetor normal do plano , calculamos o produto vetorial entre e :
Calculando o determinante:

Passo 4

Agora que temos os vetores normais dos dois planos, e , vamos usar a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo entre eles:
Primeiro, calculamos o produto escalar:
Agora, calculamos as normas dos vetores:
Substituindo na fórmula:

Resposta

O ângulo entre os planos e é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Sabendo que e 30 o ângulo entre e , calcular:
b) A área do paralelogramo determinado por e ;
Sabendo que e , calcule a matriz indicada (se possível).
(m)
Seja e vetores pertencentes ao espaço vetorial , que possui base canônica . Faça a demostração das propriedades: