Seja
e
vetores pertencentes ao espaço vetorial
, que possui base canônica
. Faça a demostração das propriedades:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores,
e
, em um espaço vetorial com base canônica
. Precisamos demonstrar que o produto escalar deles é comutativo, ou seja,
. Para isso, vamos lembrar o que é o produto escalar e como ele funciona.
Passo 2
O produto escalar entre dois vetores
e
é dado pela soma dos produtos das componentes correspondentes. Se
e
, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto escalar na ordem inversa, ou seja,
:
Passo 4
Observamos que
,
e
porque a multiplicação de números reais é comutativa. Portanto:
Resposta
Assim, demonstramos que
, comprovando que o produto escalar é comutativo.