Seja e vetores pertencentes ao espaço vetorial , que possui base canônica . Faça a demostração das propriedades:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores, e , em um espaço vetorial com base canônica . Precisamos demonstrar que o produto escalar deles é comutativo, ou seja, . Para isso, vamos lembrar o que é o produto escalar e como ele funciona.
Passo 2
O produto escalar entre dois vetores e é dado pela soma dos produtos das componentes correspondentes. Se e , então:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto escalar na ordem inversa, ou seja, :
Passo 4
Observamos que , e porque a multiplicação de números reais é comutativa. Portanto:
Resposta
Assim, demonstramos que , comprovando que o produto escalar é comutativo.