Seja A e B vetores pertencentes ao espaço vetorial V^n, que possui base canônica i, j, k. Faça a demostração das propriedades: A cdot B=B cdot A

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores, A e B, em um espaço vetorial com base canônica i, j, k. Precisamos demonstrar que o produto escalar deles é comutativo, ou seja, A cdot B = B cdot A. Para isso, vamos lembrar o que é o produto escalar e como ele funciona.

Passo 2

O produto escalar entre dois vetores A e B é dado pela soma dos produtos das componentes correspondentes. Se A = a1i + a2j + a3k e B = b1i + b2j + b3k, então:
A cdot B = a1b1 + a2b2 + a3b3

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar na ordem inversa, ou seja, B cdot A:
B cdot A = b1a1 + b2a2 + b3a3

Passo 4

Observamos que a1b1 = b1a1, a2b2 = b2a2 e a3b3 = b3a3 porque a multiplicação de números reais é comutativa. Portanto:
A cdot B = a1b1 + a2b2 + a3b3 = b1a1 + b2a2 + b3a3 = B cdot A

Resposta

Assim, demonstramos que A cdot B = B cdot A, comprovando que o produto escalar é comutativo.

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