Encontre o ângulo entre as retas: , e s:lx=1-5 beta y=3 beta z=1, beta in R.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ângulo entre duas retas no espaço. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e produto escalar da matéria de Geometria Analítica. Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das duas retas, que são essenciais para calcular o ângulo entre elas.
Passo 2
Vamos começar pegando as equações paramétricas das duas retas para encontrar os vetores diretores.
Para a reta r: x = 2 + 2alpha y = 1 + alpha z = 1 - 2alpha :
u = (2, 1, -2)
O vetor diretor da reta s: x = 1 - 5beta y = 3beta z = 1 é dado pelos coeficientes de v = (-5, 3, 0) , então:
Para a reta :
O vetor diretor da reta é dado pelos coeficientes de , então:
Passo 3
Agora, vamos usar o produto escalar para achar o ângulo entre os vetores diretores. A fórmula é:
cos(theta) = u cdot v|u| , |v|
Primeiro, calculamos o produto escalar u cdot v = (2)(-5) + (1)(3) + (-2)(0) = -10 + 3 + 0 = -7 :