Encontre o ângulo entre as retas:
r:lx=2+2 alpha y=1+alpha z=1-2 alpha, alpha in R, e s:lx=1-5 beta y=3 beta z=1, beta in R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ângulo entre duas retas no espaço. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e produto escalar da matéria de Geometria Analítica. Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das duas retas, que são essenciais para calcular o ângulo entre elas.

Passo 2

Vamos começar pegando as equações paramétricas das duas retas para encontrar os vetores diretores.
Para a reta r: x = 2 + 2alpha y = 1 + alpha z = 1 - 2alpha :
u = (2, 1, -2)
O vetor diretor da reta s: x = 1 - 5beta y = 3beta z = 1 é dado pelos coeficientes de v = (-5, 3, 0) , então:
Para a reta :
O vetor diretor da reta é dado pelos coeficientes de , então:

Passo 3

Agora, vamos usar o produto escalar para achar o ângulo entre os vetores diretores. A fórmula é:
cos(theta) = u cdot v|u| , |v|
Primeiro, calculamos o produto escalar u cdot v = (2)(-5) + (1)(3) + (-2)(0) = -10 + 3 + 0 = -7 :
|u| = raiz2^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz4 + 1 + 4 = raiz9 = 3
Em seguida, calculamos as magnitudes dos vetores:
|v| = raiz(-5)^2 + 3^2 + 0^2 = raiz25 + 9 + 0 = raiz34
cos(theta) = -73 times raiz34 approx -717,4928557 approx -0,4
Agora, substituímos na fórmula:

Passo 4

Para encontrar o ângulo theta = arccos(-0,4) approx 114,6^circ , usamos a função arco cosseno:

Resposta

O ângulo entre as retas e é aproximadamente 114,6 graus.

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