Beleza, vamos resolver o exercício que pergunta sobre o ângulo entre dois planos. Cada item (a, b, c e d) traz duas equações de planos diferentes, e a gente precisa calcular o ângulo entre eles. Para isso, vamos usar a fórmula do ângulo entre dois planos, que se baseia nos vetores normais de cada plano. Precisamos identificar esses vetores normais e aplicar a fórmula.
Passo 2
Primeiro, vamos para o item (a):
Pi1: x + y + z = 0 e Pi2: x - y - z = 0
Os vetores normais são os coeficientes de n1 = (1, 1, 1) e n2 = (1, -1, -1) , cos(theta) = n1 cdot n2|n1| |n2| e n1 cdot n2 = (1)(1) + (1)(-1) + (1)(-1) = 1 - 1 - 1 = -1 em cada equação. Então:
|n1| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3
Agora, usamos a fórmula do cosseno do ângulo |n2| = raiz1^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = raiz3 entre dois vetores:
cos(theta) = -1raiz3 cdot raiz3 = -13
onde theta = arccos(-13) approx 109,47^circ é o produto escalar e e são as magnitudes dos vetores.
Calculando o produto escalar:
Calculando as magnitudes:
Então:
Passo 3
Vamos para o item (b):
Pi1: 3x + 2y - 6 = 0 e Pi2: y = 0
Primeiro, ajustamos a segunda equação para o padrão geral:
Como o ângulo entre planos é sempre o menor entre os possíveis, usamos:
180^circ - 123,69^circ = 56,31^circ
Passo 5
Por fim, o item (d):
Pi1: x + 2y + z - 10 = 0 e Pi2: x = 2alpha - beta + 1 y = 2alpha + beta - 1 z = alpha , alpha, beta in R
Primeiro, precisamos encontrar o vetor normal da r = (2alpha - beta + 1, , 2alpha + beta -1, , alpha) = (1, -1, 0) + alpha(2, 2, 1) + beta(-1, 1, 0) . Para isso, identificamos dois vetores diretores da u = (2, 2, 1) e v = (-1, 1, 0) a partir das parametrizações.
Vamos expressar a posição vetorial:
n2 = u times v = i & j & k 2 & 2 & 1 -1 & 1 & 0 = i(2 cdot 0 - 1 cdot 1) - j(2 cdot 0 - 1 cdot (-1)) + k(2 cdot 1 - 2 cdot (-1))
Os vetores diretores são:
n2 = (-1, 1, 4)
Agora, o vetor normal n1 = (1, 2, 1) e n2 = (-1, 1, 4) é o produto vetorial de cos(theta) = n1 cdot n2|n1| |n2| e n1 cdot n2 = (1)(-1) + (2)(1) + (1)(4) = -1 + 2 + 4 = 5 :