Encontre o ângulo entre os planos:
(a) Pi1: x+y+z=0 e Pi2: x-y-z=0
(b) Pi1: 3 x+2 y-6=0 e Pi2: y=0;
© Pi1: 3 x-2 z+6=0 e Pi2: z=0;
(d) Pi1: x+2 y+z-10=0 e Pi2:lx=2 alpha-beta+1 y=2 alpha+beta-1 z=alpha, alpha, beta in R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pergunta sobre o ângulo entre dois planos. Cada item (a, b, c e d) traz duas equações de planos diferentes, e a gente precisa calcular o ângulo entre eles. Para isso, vamos usar a fórmula do ângulo entre dois planos, que se baseia nos vetores normais de cada plano. Precisamos identificar esses vetores normais e aplicar a fórmula.

Passo 2

Primeiro, vamos para o item (a):
Pi1: x + y + z = 0 e Pi2: x - y - z = 0
Os vetores normais são os coeficientes de n1 = (1, 1, 1) e n2 = (1, -1, -1) , cos(theta) = n1 cdot n2|n1| |n2| e n1 cdot n2 = (1)(1) + (1)(-1) + (1)(-1) = 1 - 1 - 1 = -1 em cada equação. Então:
|n1| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3
Agora, usamos a fórmula do cosseno do ângulo |n2| = raiz1^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = raiz3 entre dois vetores:
cos(theta) = -1raiz3 cdot raiz3 = -13
onde theta = arccos(-13) approx 109,47^circ é o produto escalar e e são as magnitudes dos vetores.
Calculando o produto escalar:
Calculando as magnitudes:
Então:

Passo 3

Vamos para o item (b):
Pi1: 3x + 2y - 6 = 0 e Pi2: y = 0
Primeiro, ajustamos a segunda equação para o padrão geral:
Pi2: 0x + 1y + 0z = 0
Assim, os vetores normais são:
n1 = (3, 2, 0) e n2 = (0, 1, 0)
Aplicando a fórmula:
cos(theta) = n1 cdot n2|n1| |n2|
n1 cdot n2 = (3)(0) + (2)(1) + (0)(0) = 2
|n1| = raiz3^2 + 2^2 + 0^2 = raiz13
|n2| = raiz0^2 + 1^2 + 0^2 = 1
cos(theta) = 2raiz13 cdot 1 = 2raiz13 approx 0,5547
theta = arccos(2raiz13) approx 56,31^circ

Passo 4

Agora, o item ©:
Pi1: 3x - 2z + 6 = 0 e Pi2: z = 0
Ajustamos a segunda equação:
Pi2: 0x + 0y + 1z = 0
Portanto, os vetores normais são:
n1 = (3, 0, -2) e n2 = (0, 0, 1)
Aplicando a fórmula:
cos(theta) = n1 cdot n2|n1| |n2|
n1 cdot n2 = (3)(0) + (0)(0) + (-2)(1) = -2
|n1| = raiz3^2 + 0^2 + (-2)^2 = raiz13
|n2| = raiz0^2 + 0^2 + 1^2 = 1
cos(theta) = -2raiz13 cdot 1 = -2raiz13 approx -0,5547
theta = arccos(-2raiz13) approx 123,69^circ
Como o ângulo entre planos é sempre o menor entre os possíveis, usamos:
180^circ - 123,69^circ = 56,31^circ

Passo 5

Por fim, o item (d):
Pi1: x + 2y + z - 10 = 0 e Pi2: x = 2alpha - beta + 1 y = 2alpha + beta - 1 z = alpha , alpha, beta in R
Primeiro, precisamos encontrar o vetor normal da r = (2alpha - beta + 1, , 2alpha + beta -1, , alpha) = (1, -1, 0) + alpha(2, 2, 1) + beta(-1, 1, 0) . Para isso, identificamos dois vetores diretores da u = (2, 2, 1) e v = (-1, 1, 0) a partir das parametrizações.
Vamos expressar a posição vetorial:
n2 = u times v = i & j & k 2 & 2 & 1 -1 & 1 & 0 = i(2 cdot 0 - 1 cdot 1) - j(2 cdot 0 - 1 cdot (-1)) + k(2 cdot 1 - 2 cdot (-1))
Os vetores diretores são:
n2 = (-1, 1, 4)
Agora, o vetor normal n1 = (1, 2, 1) e n2 = (-1, 1, 4) é o produto vetorial de cos(theta) = n1 cdot n2|n1| |n2| e n1 cdot n2 = (1)(-1) + (2)(1) + (1)(4) = -1 + 2 + 4 = 5 :
|n1| = raiz1^2 + 2^2 + 1^2 = raiz6
|n2| = raiz(-1)^2 + 1^2 + 4^2 = raiz18 = 3raiz2
Agora, temos:
cos(theta) = 5raiz6 cdot 3raiz2 = 53raiz12 = 56raiz3 = 5raiz318 approx 0,481
Aplicando a fórmula:
theta = arccos(5raiz318) approx 61,93^circ

Resposta

(a) O ângulo entre e é aproximadamente .
(b) O ângulo entre e é aproximadamente .
© O ângulo entre e é aproximadamente .
(d) O ângulo entre e é aproximadamente .

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