Encontre o ângulo entre os planos:
(a) e
(b) e ;
© e ;
(d) e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pergunta sobre o ângulo entre dois planos. Cada item (a, b, c e d) traz duas equações de planos diferentes, e a gente precisa calcular o ângulo entre eles. Para isso, vamos usar a fórmula do ângulo entre dois planos, que se baseia nos vetores normais de cada plano. Precisamos identificar esses vetores normais e aplicar a fórmula.

Passo 2

Primeiro, vamos para o item (a):
Os vetores normais são os coeficientes de , e em cada equação. Então:
Agora, usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
onde é o produto escalar e e são as magnitudes dos vetores.
Calculando o produto escalar:
Calculando as magnitudes:
Então:

Passo 3

Vamos para o item (b):
Primeiro, ajustamos a segunda equação para o padrão geral:
Assim, os vetores normais são:
Aplicando a fórmula:

Passo 4

Agora, o item ©:
Ajustamos a segunda equação:
Portanto, os vetores normais são:
Aplicando a fórmula:
Como o ângulo entre planos é sempre o menor entre os possíveis, usamos:

Passo 5

Por fim, o item (d):
Primeiro, precisamos encontrar o vetor normal da . Para isso, identificamos dois vetores diretores da a partir das parametrizações.
Vamos expressar a posição vetorial:
Os vetores diretores são:
Agora, o vetor normal é o produto vetorial de e :
Agora, temos:
Aplicando a fórmula:

Resposta

(a) O ângulo entre e é aproximadamente .
(b) O ângulo entre e é aproximadamente .
© O ângulo entre e é aproximadamente .
(d) O ângulo entre e é aproximadamente .

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