Verifique se os vetores abaixo são coplanares.
a) e
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para verificar se três vetores são coplanares. Os vetores dados são:
Coplanares significa que esses vetores estão todos no mesmo plano. Para descobrir isso, vamos usar o conceito de produto misto ou produto escalar triple, que nos ajuda a verificar se os vetores estão em um mesmo plano.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é o produto misto. O produto misto de três vetores , e é calculado usando um determinante de uma matriz 3x3 que tem esses vetores como linhas (ou colunas). Se o resultado do determinante for zero, significa que os vetores são coplanares.
A fórmula do produto misto é:
Passo 3
Agora, vamos montar a matriz com os componentes dos vetores:
Vamos calcular esse determinante passo a passo.
Passo 4
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vou usar a regra de Sarrus aqui.
Multiplicamos as diagonais principais e subtraímos as diagonais secundárias:
Passo 5
O determinante calculado foi -6. Segundo o critério do produto misto:
Se o determinante for zero, os vetores são coplanares.
Se for diferente de zero, os vetores não são coplanares.
Aqui, como o determinante é -6 (diferente de zero), concluímos que os vetores não estão no mesmo plano.