Verifique se os vetores abaixo são coplanares.
a) u=(-3,-1,0), v=(4,-2,2) e w=(1,-3,2)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para verificar se três vetores são coplanares. Os vetores dados são:
  • u=(-3,-1,0)
  • v=(4,-2,2)
  • w=(1,-3,2)
Coplanares significa que esses vetores estão todos no mesmo plano. Para descobrir isso, vamos usar o conceito de produto misto ou produto escalar triple, que nos ajuda a verificar se os vetores estão em um mesmo plano.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o produto misto. O produto misto de três vetores u, v e w é calculado usando um determinante de uma matriz 3x3 que tem esses vetores como linhas (ou colunas). Se o resultado do determinante for zero, significa que os vetores são coplanares.
A fórmula do produto misto é:
u cdot (v times w) = u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3 w1 & w2 & w3

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz com os componentes dos vetores:
-3 & -1 & 0 4 & -2 & 2 1 & -3 & 2
Vamos calcular esse determinante passo a passo.

Passo 4

Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vou usar a regra de Sarrus aqui.
Multiplicamos as diagonais principais e subtraímos as diagonais secundárias:
Determinante &= (-3) times (-2) times 2 + (-1) times 2 times 1 + 0 times 4 times (-3) & - [0 times (-2) times 1 + (-1) times 4 times 2 + (-3) times 2 times (-3)] &= (6) + (-2) + 0 - [0 + (-8) + 18] &= 6 - 2 - ( -8 + 18 ) &= 4 - 10 &= -6

Passo 5

O determinante calculado foi -6. Segundo o critério do produto misto:
  • Se o determinante for zero, os vetores são coplanares.
  • Se for diferente de zero, os vetores não são coplanares.
Aqui, como o determinante é -6 (diferente de zero), concluímos que os vetores não estão no mesmo plano.

Resposta

Não, os vetores u, v e w não são coplanares.

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