Verifique se os vetores abaixo são coplanares.
a) e

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para verificar se três vetores são coplanares. Os vetores dados são:
Coplanares significa que esses vetores estão todos no mesmo plano. Para descobrir isso, vamos usar o conceito de produto misto ou produto escalar triple, que nos ajuda a verificar se os vetores estão em um mesmo plano.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o produto misto. O produto misto de três vetores , e é calculado usando um determinante de uma matriz 3x3 que tem esses vetores como linhas (ou colunas). Se o resultado do determinante for zero, significa que os vetores são coplanares.
A fórmula do produto misto é:

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz com os componentes dos vetores:
Vamos calcular esse determinante passo a passo.

Passo 4

Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vou usar a regra de Sarrus aqui.
Multiplicamos as diagonais principais e subtraímos as diagonais secundárias:

Passo 5

O determinante calculado foi -6. Segundo o critério do produto misto:
  • Se o determinante for zero, os vetores são coplanares.
  • Se for diferente de zero, os vetores não são coplanares.
Aqui, como o determinante é -6 (diferente de zero), concluímos que os vetores não estão no mesmo plano.

Resposta

Não, os vetores , e não são coplanares.

Exercícios relacionados

Dados os vetores e . Determine os seguintes produtos mistos:
b)
Sejam os vetores e . Determinar um vetor que seja
b) ortogonal a e e unitário
Encontre o ângulo entre as retas:
e ;
Sejam os vetores e . Determinar um vetor que seja
c) ortogonal a e e tenha módulo 4