Encontre o ângulo entre as superfícies da esfera
e o cilindro
um ponto onde eles se cruzam.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o ângulo entre duas superfícies: uma esfera definida por
e um cilindro dado por
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de vetores normais às superfícies e o ângulo entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar um ponto onde a esfera e o cilindro se intersectam. Sabemos que
(do cilindro) e
(da esfera). Substituindo
na equação da esfera, temos:
Então, os pontos de interseção são, por exemplo,
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os vetores normais às superfícies no ponto de interseção. O vetor normal a uma superfície em um ponto é dado pelo gradiente da função que define a superfície nesse ponto.
Para a esfera
:
No ponto
:
Para o cilindro
:
No ponto
:
Passo 4
Com os vetores normais das duas superfícies no ponto de interseção, podemos encontrar o ângulo entre as superfícies calculando o ângulo entre esses vetores. A fórmula para o ângulo
entre dois vetores
e
é:
Onde
é o produto escalar e
,
são as magnitudes dos vetores.
Vamos calcular para
e
:
Produto escalar:
Magnitudes:
Passo 5
Agora, substituímos na fórmula do cosseno:
Para encontrar o ângulo
, usamos a função arco cosseno:
Resposta
O ângulo entre as superfícies da esfera e do cilindro no ponto de interseção é de
.
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de
a
e no segmento de reta
a
.
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