Use o Critério da Razão para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty n!2^n

Passo 1

Vamos analisar a série . Estamos trabalhando com séries infinitas e vamos usar o Critério da Razão para verificar se essa série converge ou diverge. Para isso, precisaremos calcular o limite da razão entre termos sucessivos da série.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o que é o Critério da Razão. Esse critério diz que, para uma série L = limn to infty | an+1an | , se o limite:
for menor que 1 ( ), a série converge; se for maior que 1 ( ), a série diverge; e se for igual a 1 ( ), o critério é inconclusivo.

Passo 3

Vamos identificar an = n!2^n na nossa série:
an+1 = (n+1)!2^n+1
Agora, vamos encontrar :

Passo 4

Aplicando o Critério da Razão, calculamos a razão entre an+1an = (n+1)!2^n+1n!2^n = (n+1)!2^n+1 times 2^nn! e an+1an = (n+1) times n!2 times 2^n times 2^nn! = n+12 :
Simplificando:

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty n+12 = limn to infty n2 + 12 = infty tende ao infinito:

Resposta

Como , pela Regra do Critério da Razão, a série diverge.

Exercícios relacionados

Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty 1raiz[n]n!
Use o Critério da Razão para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty n^2n!
Encontre o ângulo entre as superfícies da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 2 e o cilindro x^2 + y^2 = 1 um ponto onde eles se cruzam.
Use o teorema de Green para calcular integralC F cdot d r com F(x, y)=(raizx+y^3) i+(x^2+raizy) j, C consiste no arco de curva y=sen(x) de (0,0) a (pi, 0) e no segmento de reta (0,0) a (pi, 0).