Use o Critério da Razão para estudar a convergência das seguintes séries:
Passo 1
Vamos analisar a série . Estamos trabalhando com séries infinitas e vamos usar o Critério da Razão para verificar se essa série converge ou diverge. Para isso, precisaremos calcular o limite da razão entre termos sucessivos da série.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o que é o Critério da Razão. Esse critério diz que, para uma série , se o limite:
for menor que 1 (), a série converge; se for maior que 1 (), a série diverge; e se for igual a 1 (), o critério é inconclusivo.
Passo 3
Vamos identificar an = n!2^n na nossa série:
an+1 = (n+1)!2^n+1
Agora, vamos encontrar :
Passo 4
Aplicando o Critério da Razão, calculamos a razão entre an+1an = (n+1)!2^n+1n!2^n = (n+1)!2^n+1 times 2^nn! e an+1an = (n+1) times n!2 times 2^n times 2^nn! = n+12 :
Simplificando:
Passo 5
Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty n+12 = limn to infty n2 + 12 = infty tende ao infinito:
Resposta
Como , pela Regra do Critério da Razão, a série diverge.