Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty 1raiz[n]n!

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que analisar a convergência da série infinita:
sumn=1^infty 1raiz[n]n!
Para isso, vamos usar o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite. Esses critérios nos ajudam a determinar se uma série converge ou diverge comparando-a com outra série conhecida.

Passo 2

Primeiro, precisamos simplificar o termo geral da série:
an = 1raiz[n]n! = 1(n!)^1/n
Queremos entender o comportamento de conforme cresce.

Passo 3

Vamos reescrever (n!)^1/n = e^ln(n!)n usando propriedades de potências:
Isso nos ajuda a lidar com o fatorial de forma mais conveniente.

Passo 4

Agora, precisamos estimar ln(n!) approx nln(n) - n . Usando a Fórmula de Stirling, que aproxima o fatorial de :
Essa aproximação é válida para valores grandes de .

Passo 5

Substituímos a aproximação de Stirling na expressão anterior:
ln(n!)n approx nln(n) - nn = ln(n) - 1
Portanto,
(n!)^1/n approx e^ln(n) - 1 = ne

Passo 6

Agora retornamos ao termo geral an = 1(n!)^1/n approx 1ne = en :
Isso mostra que, para grande, se comporta aproximadamente como .

Passo 7

Sabemos que a série é a série harmônica, que diverge. Como é aproximadamente , podemos usar o Critério da Comparação.

Passo 8

Aplicando o Critério da Comparação, comparamos 0 < an approx en e sumn=1^infty bn diver>= com :
Como é maior ou equivalente a para grande, a série também diverge.

Resposta

A série diverge.

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Use o Critério da Razão para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty n^2n!
Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty ln nn
Use o Critério da Razão para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty n!2^n
Encontre o ângulo entre as superfícies da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 2 e o cilindro x^2 + y^2 = 1 um ponto onde eles se cruzam.