Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que analisar a convergência da série infinita:
Para isso, vamos usar o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite. Esses critérios nos ajudam a determinar se uma série converge ou diverge comparando-a com outra série conhecida.
Passo 2
Primeiro, precisamos simplificar o termo geral da série:
Queremos entender o comportamento de
conforme
cresce.
Passo 3
Vamos reescrever
usando propriedades de potências:
Isso nos ajuda a lidar com o fatorial de forma mais conveniente.
Passo 4
Agora, precisamos estimar
. Usando a Fórmula de Stirling, que aproxima o fatorial de
:
Essa aproximação é válida para valores grandes de
.
Passo 5
Substituímos a aproximação de Stirling na expressão anterior:
Portanto,
Passo 6
Agora retornamos ao termo geral
:
Isso mostra que, para
grande,
se comporta aproximadamente como
.
Passo 7
Sabemos que a série
é a série harmônica, que diverge. Como
é aproximadamente
, podemos usar o Critério da Comparação.
Passo 8
Aplicando o Critério da Comparação, comparamos
com
:
Como
é maior ou equivalente a
para
grande, a série
também diverge.
Resposta
A série
diverge.
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Encontre o ângulo entre as superfícies da esfera
e o cilindro
um ponto onde eles se cruzam.