Encontre a anti-transformada de Laplace das funções a seguir:
,
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a anti-transformada de Laplace da função
.
Conteúdo da matéria: Transformadas de Laplace e suas anti-transformadas, especialmente utilizando a técnica de frações parciais.
O que vamos precisar: Fatorar o denominador, decompor a fração em partes mais simples e aplicar as propriedades da transformada de Laplace inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
.
Observe que podemos fatorar o
:
Então, a expressão fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor
em frações parciais. Queremos expressar
na forma:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum
, temos:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos:
Resolvendo o sistema:
De
, temos
.
Como
, então
.
E
.
Portanto, a decomposição em frações parciais é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a anti-transformada de cada termo separadamente.
Primeiro, a anti-transformada de
:
(Lembre-se que
)
Segundo, a anti-transformada de
:
(Pois
, aqui
)
Passo 5
Finalmente, somamos as anti-transformadas encontradas:
Resposta
A anti-transformada de
é
.
Exercícios relacionados
Verifique se o limite de cada item existe. Caso exista, determine-o.
;
Use a regra da cadeia para achar
.
(a) sent,
(a)
Encontre a anti-transformada de Laplace das funções a seguir:
.
Use a transformada de Laplace para resolver o P.V.I