Encontre a anti-transformada de Laplace das funções a seguir: ,

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a anti-transformada de Laplace da função .
Conteúdo da matéria: Transformadas de Laplace e suas anti-transformadas, especialmente utilizando a técnica de frações parciais.
O que vamos precisar: Fatorar o denominador, decompor a fração em partes mais simples e aplicar as propriedades da transformada de Laplace inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador .
Observe que podemos fatorar o :
Então, a expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos decompor em frações parciais. Queremos expressar na forma:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum , temos:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos:
Resolvendo o sistema:
De , temos .
Como , então .
E .
Portanto, a decomposição em frações parciais é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a anti-transformada de cada termo separadamente.
Primeiro, a anti-transformada de :
(Lembre-se que )
Segundo, a anti-transformada de :
(Pois , aqui )

Passo 5

Finalmente, somamos as anti-transformadas encontradas:

Resposta

A anti-transformada de é .

Exercícios relacionados

Verifique se o limite de cada item existe. Caso exista, determine-o.
;
Use a regra da cadeia para achar .
(a) sent,
Encontre a anti-transformada de Laplace das funções a seguir: .
Use a transformada de Laplace para resolver o P.V.I