Verifique se o limite de cada item existe. Caso exista, determine-o.
;

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício tá pedindo. A gente precisa verificar se o limite da função existe quando se aproxima de . Isso faz parte da matéria de cálculo multivariável, onde a gente estuda limites de funções com mais de uma variável. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares e entender como cada parte da função se comporta próximo de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função usando coordenadas polares. Sabemos que e , onde é a distância até a origem, ou seja, . Substituindo esses valores na função, temos:

Passo 3

Simplificando a expressão, percebemos que , que é uma identidade trigonométrica. Então, a função fica:
Note que agora a função depende apenas de , o que facilita a análise do limite.

Passo 4

Vamos simplificar mais um pouco. Sabemos que . Então, substituindo na função, temos:

Passo 5

Agora, queremos achar o limite de quando tende a 0. Ou seja:

Passo 6

Para resolver esse limite, vamos analisar cada parte da expressão:
  • tende a 0 à medida que se aproxima de 0.
  • tende a quando se aproxima de 0 pelo lado positivo.
Mesmo que vá para , o termo vai para 0 de forma mais rápida. Quando uma quantidade que tende a 0 é multiplicada por uma que tende a , a determinação do limite depende da taxa com que cada uma varia.

Passo 7

No nosso caso, diminui mais rápido que cresce negativamente. Portanto, o produto tende a 0 quando tende a 0.

Resposta

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Use a regra da cadeia para achar .
(a) sent,
Determine as derivadas parciais indicadas
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Encontre a anti-transformada de Laplace das funções a seguir: ,
Encontre a anti-transformada de Laplace das funções a seguir: .