Verifique se o limite de cada item existe. Caso exista, determine-o.
lim (x, y) (0,0)(x^2+y^2) ln (x^2+y^2);

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício tá pedindo. A gente precisa verificar se o limite da função (x^2+y^2) ln (x^2+y^2) existe quando (x, y) se aproxima de (0,0). Isso faz parte da matéria de cálculo multivariável, onde a gente estuda limites de funções com mais de uma variável. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares e entender como cada parte da função se comporta próximo de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função usando coordenadas polares. Sabemos que x = r costheta e y = r sintheta, onde r é a distância até a origem, ou seja, r = raizx^2 + y^2. Substituindo esses valores na função, temos:
f(r, theta) = (r^2 cos^2theta + r^2 sin^2theta) ln (r^2)

Passo 3

Simplificando a expressão, percebemos que cos^2theta + sin^2theta = 1, que é uma identidade trigonométrica. Então, a função fica:
f(r) = r^2 ln (r^2)
Note que agora a função depende apenas de r, o que facilita a análise do limite.

Passo 4

Vamos simplificar mais um pouco. Sabemos que ln(r^2) = 2 ln(r). Então, substituindo na função, temos:
f(r) = r^2 cdot 2 ln(r) = 2 r^2 ln(r)

Passo 5

Agora, queremos achar o limite de f(r) quando r tende a 0. Ou seja:
limr to 0 2 r^2 ln(r)

Passo 6

Para resolver esse limite, vamos analisar cada parte da expressão:
  • r^2 tende a 0 à medida que r se aproxima de 0.
  • ln(r) tende a -infty quando r se aproxima de 0 pelo lado positivo.
Mesmo que ln(r) vá para -infty, o termo r^2 vai para 0 de forma mais rápida. Quando uma quantidade que tende a 0 é multiplicada por uma que tende a -infty, a determinação do limite depende da taxa com que cada uma varia.

Passo 7

No nosso caso, r^2 diminui mais rápido que ln(r) cresce negativamente. Portanto, o produto 2 r^2 ln(r) tende a 0 quando r tende a 0.

Resposta

lim (x, y) (0,0)(x^2+y^2) ln (x^2+y^2) = 0

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