Verifique se o limite de cada item existe. Caso exista, determine-o.
;
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício tá pedindo. A gente precisa verificar se o limite da função
existe quando
se aproxima de
. Isso faz parte da matéria de cálculo multivariável, onde a gente estuda limites de funções com mais de uma variável. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares e entender como cada parte da função se comporta próximo de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função usando coordenadas polares. Sabemos que
e
, onde
é a distância até a origem, ou seja,
. Substituindo esses valores na função, temos:
Passo 3
Simplificando a expressão, percebemos que
, que é uma identidade trigonométrica. Então, a função fica:
Note que agora a função depende apenas de
, o que facilita a análise do limite.
Passo 4
Vamos simplificar mais um pouco. Sabemos que
. Então, substituindo na função, temos:
Passo 5
Agora, queremos achar o limite de
quando
tende a 0. Ou seja:
Passo 6
Para resolver esse limite, vamos analisar cada parte da expressão:
-
tende a 0 à medida que se aproxima de 0. -
tende a quando se aproxima de 0 pelo lado positivo.
Mesmo que
vá para
, o termo
vai para 0 de forma mais rápida. Quando uma quantidade que tende a 0 é multiplicada por uma que tende a
, a determinação do limite depende da taxa com que cada uma varia.
Passo 7
No nosso caso,
diminui mais rápido que
cresce negativamente. Portanto, o produto
tende a 0 quando
tende a 0.
Resposta
Exercícios relacionados
Use a regra da cadeia para achar
.
(a) sent,
(a)
Determine as derivadas parciais indicadas
©
©
Encontre a anti-transformada de Laplace das funções a seguir:
,
Encontre a anti-transformada de Laplace das funções a seguir:
.